連続方程式

電流密度は、単位断面積あたりに流れる電流の総量です。したがって、断面積を通過する電流の合計は、電流密度の表面積分として表すことができます。

現在、電荷保存には、特定のボリュームから流出する電流の合計が、そのボリューム内の電荷の減少率と等しくなる必要があります。

総電荷を体積電荷密度で表すと、方程式が修正されます。電荷密度は空間関数であるため、ライプニッツの法則を使用すると、その時間微分を積分の内側に移動できます。

方程式の左辺に発散定理を適用すると、閉面積分が体積積分に変換されます。この関係は、どのボリュームにも当てはまります。その結果、被積分関数は等しくなります。

電流密度の発散は、体積電荷密度の負の変化率に等しくなります。この局所電荷保存の数学的ステートメントは、連続方程式と呼ばれます。

定常電流の場合、電荷密度は時間とともに不変です。したがって、電流密度の発散はゼロです。