30.15: マクスウェル方程式の微分形式

James Clerk Maxwell (1831–1879) は、19 世紀の物理学への重要な貢献者の 1 人です。 彼はおそらく、電気の法則と磁気の法則に関する既存の知識を彼の洞察力と組み合わせて、マクスウェルの方程式で表される完全な包括的な電磁理論を形成したことで最もよく知られています。 電気と磁気の 4 つの基本法則は、エルステッド、クーロン、ガウス、ファラデーなどの物理学者の研究によって実験的に発見されました。 マクスウェルは、これらの以前の結果で論理的矛盾を発見し、その原因としてアンプレの法則の不完全性を特定しました。 マクスウェルの方程式とローレンツ力の法則は、電気と磁気の法則をすべて網羅しています。

マクスウェル方程式の積分形式には、空間内の特定の領域にわたる場の量とソース量の相互依存性に関するすべての情報が含まれています。 しかし、これらの方程式では、磁場ベクトル間の相互作用や、個々の点における線源密度との関係を研究することはできません。 微分形式のマクスウェル方程式は、積分形式のマクスウェル方程式を無限小の閉じたパス、曲面、および体積に適用することで、極限が点に縮小されるように導出できます。 微分方程式は、特定の点における電場ベクトルと磁場ベクトルの空間的変化をそれらの時間的変化に関連付けます。

さらに、マクスウェル方程式の微分形式は、両方の場の空間変化を、特定の点での電荷密度および電流密度と相関させます。 電場と磁場の用語を一方にグループ化し、これらの場を生成する源を他方にグループ化すると、電荷と電流がすべての電磁場を生成することが示唆されます。 マクスウェルの方程式は、電荷が電磁場を生成することを示しており、力の法則は、場が電荷に影響を与えることを示しています。

マクスウェルの4つの方程式は、電磁気学の基礎を説明しています。

発散定理をガウスの法則に適用し、囲まれた電荷を総電荷密度の観点から書き直すと、ガウスの法則の微分形式が得られます。

同様に、磁場のガウスの法則に発散定理を適用すると、磁気におけるガウスの法則の微分形式が得られます。

さらに、ファラデーの法則を並べ替えてストークの定理を適用すると、ファラデーの法則が微分形式で得られます。

アンペア・マクスウェル方程式を考えてみて、囲まれた電流は電流密度の積分で表すことができます。

さて、項を並べ替えてストークの定理を適用すると、アンペール・マクスウェル方程式の微分形式が得られます。

電場と磁場の項を一方に、これらの磁場を生成する源を反対側にグループ化すると、すべての電磁場は電荷と電流によって生成されることが示唆されます。

マクスウェル方程式の積分形式は、電荷または電流を含む領域の場に適用されますが、微分形式は電荷密度と電流密度を持つ特定の点に適用されます。