減衰発振器としての RLC 回路

RLC回路の微分方程式を考えてみましょう。減衰調和発振器と同様に、RLC回路方程式の解は指数関数によって与えられます。

解を時間で2回微分し、抵抗係数と発振周波数を代入すると、2つの可能な解を持つ二次方程式が得られます。

これらの合計により、RLC回路方程式の最終的な解が得られます。

抵抗係数が発振周波数よりも小さい減衰不足の場合を考えてみましょう。この場合、解は虚数になります。

虚数項を代入すると、アンダーダンピングされたRLC回路の複素解が得られます。オイラーの公式を使うことで、方程式が簡略化されます。

方程式が実数であるためには、A₁ と A₂ が互いの複素共役である必要があり、これにより解がさらに単純化されます。

係数を電荷振幅で表し、抵抗係数を代入すると、減衰不足のRLC発振器の最終解が得られます。

ここで、ω'とΦは、それぞれアンダーダンピングされたRLC回路の角周波数と位相角を表します。