パップスとギュルダンの定理

パップスとグルディヌスは、あらゆる回転体の表面積と体積を求める定理を開発した。

サーフェス領域を生成するには、既知の長さの平面カーブを x 軸を中心に回転させます。

差動ライン要素について考えてみます。回転するとリングが生成され、リングが統合されて表面積全体が得られます。

最初の定理は、回転面の面積は、生成曲線の長さと、曲面の生成中に曲線の重心が移動する距離の積であると述べています。

同様に、回転量を見つけるために、平面領域は交差しない軸を中心に回転します。

差動領域を考え、回転したときに体積要素を生成します。次に、差動ボリュームが積分されて、全体のボリュームが決定されます。

2 番目の定理は、回転体の体積は、生成領域と、体積を生成するときに領域の重心が移動する距離の積であると述べています。

どちらの場合も、回転が角度のみの場合、式はそれに応じて変化します。