発散とストークスの定理

発散定理は、ボリューム内のベクトル場の発散の積分が、ボリュームを囲む表面を通るベクトル場の磁束に等しいと述べています。

これを理解するために、パイプ内を滑らかに流れる流体の速度場を考えてみましょう。その表面に穴が開けられると、流体がそこを流れます。その後、速度場は穴の近くで正の発散を持ちます。

単位時間あたりにパイプから流出する流体の総量は、パイプ体積全体の速度の正味の発散に相当します。

ストークスの定理は、閉じた表面上のベクトル場のカールの表面積分は、その表面の周りのベクトル場の線積分に等しいと述べています。

ベクトルのカールは、閉じたループに沿ったそのベクトルの循環を表します。表面では、隣接するループは逆の循環を持ち、互いに打ち消し合います。したがって、正味の循環はループの端の周りだけにあります。