球対称の質量間の重力

2つの球対称な物体間の重力ポテンシャルエネルギーは、質量が中心に集中していると仮定して、物体の質量とそれらの間の距離によって与えられます。

球形シェルから離れた位置に配置された点質量について考えます。球対称の質量分布は、複数の同心円状のシェルで構成され、特定のリング内のすべての粒子は点質量から等距離にあります。

リングと点質量の間の電位は、リングの質量がわかっているときに取得できます。リングの面積とシェルの面積の比率は、それらの質量の比率に等しくなります。

距離間の関係を解き、それを適用し、式を統合すると、シェルと点質量の間のポテンシャルが得られます。この式は、2 つの点質量間のポテンシャルと同じです。

点質量がシェルの内側にある場合、重力ポテンシャルはキャビティ内のすべてのポイントでどこでも同じです。

力はポテンシャルの導関数であるため、重力についても仮定が成り立ちます。