15.5: ばね-質量系の周波数

ばねに取り付けられた物体の単調和運動 (SHM) の興味深い特性の 1 つは、角周波数、動きの周期と周波数がばねの質量と力定数のみに依存することです。 動きの振幅や初期条件などの他の要因には依存しません。 運動方程式とニュートンの第 2 法則を使用して、角周波数、周波数、周期を求めることができます。

摩擦のない表面上のばね上のブロックを考えてみましょう。 質量には 3 つの力、すなわち重量、垂直力、およびバネによる力がかかります。 表面に垂直に作用する力は重量と垂直力の 2 つだけで、大きさが等しく反対方向です。 その結果、それらの合計はゼロになります。 表面に平行に作用する力はバネによる力だけであるため、正味の力はバネの力と等しくなければなりません。

フックの法則によれば、力と変形が十分に小さい限り、ばねの力の大きさは変位の 1 乗に比例します。 このため、バネ質量系は線形単調和振動子と呼ばれます。

ニュートンの第 2 法則の加速度と変位の式を代入すると、角周波数の方程式が得られます。

角周波数は力定数と質量のみに依存し、振幅には依存しません。 また、指定された関係を使用して振動周期とも関連付けられます。

周期も質量と力定数のみに依存します。 質量が大きいほど周期は長くなります。 ばねが硬いほど、周期は短くなります。 頻度は

です。

水平スプリングに結合された質量mのブロックを、摩擦のない表面上に配置するとします。

ブロックにかかる正味の力は、ブロックの重量による力、垂直抗力、およびスプリングによる力の合計です。

重量と垂直抗力は大きさが等しく、方向が逆であるため、互いに打ち消し合い、正味の力はバネによる力と等しくなります。

ここで、力の大きさは変位の最初の力に比例します。このため、ばね質量システムは線形単純調和振動子と呼ばれます。

ニュートンの第二法則を使用すると、力は加速度で表すことができます。

加速度と変位の式を代入すると、角周波数の方程式が得られます。

角周波数は、発振期間にわたって2πとしても定義されます。

また、周期の逆数は振動の周波数です。

硬いスプリングは、急速な振動と短い周期を生み出します。それに比べて、重い物体は振動が鈍く、周期が長くなる傾向があります。