指数フーリエ級数

オーディオ信号処理では、音の合成に指数関数的なフーリエ級数が不可欠です。たとえば、複雑な音符は、それぞれが固有の周波数と振幅を持つ単純な正弦波に分解できます。

指数フーリエ級数は、正と負の高調波周波数における複素指数の合計として周期信号を表します。

オイラーの恒等式は、指数項をその余弦成分と正弦成分に拡張するために適用されます。これはフーリエ級数に置き換えられます。

系列の各項の係数は、関数の 1 つの期間で積分することによって計算されます。

級数に代入すると、複素指数に関する関数の簡潔な表現が得られます。

フーリエ級数の3つの形式(正弦-コサイン形式、振幅-位相形式、複素指数形式)は、すべて相互に関連しています。

説明のために、方形波信号について考えてみます。指数フーリエ級数を通じて、この方形波は、各周波数が基本周波数の奇数倍であり、振幅がその周波数に反比例する正弦波の合計として表すことができます。