フーリエ級数の収束

信号のフーリエ級数は、複素指数関数の無限大和です。無限和は、実用的にするために、多くの場合、有限の部分和に切り捨てられます。

部分和の項を増やすと、近似が信号に収束するはずです。しかし、不連続性の近くでは、持続的な波紋が発生し、不連続性に向かって圧縮されます-ギブス現象として知られる現象。

ギブスは、これらの高周波リップルとオーバーシュートを、切り捨てられたフーリエ級数近似の不連続点付近で観測しました。

これを軽減するには、リップルの総エネルギーが無視できるほど小さくなるように、多数の項を選択します。

リップルはあるものの、近似誤差のエネルギーは項が増えるにつれて減少するため、フーリエ級数は不連続な信号を表すことができます。

フーリエ級数を目的の項数に切り捨てると、最適な近似が得られ、誤差が最小限に抑えられます。誤差は項が増えるにつれて減少し、信号をフーリエ級数で表すことができる場合は最終的にゼロになります。

たとえば、画像処理では、視覚的なアーティファクトを回避するために、切り捨てられたフーリエ級数を使用して画像信号を近似する場合、誤差を減らすことが重要です。