2.4: 三角関数の微分

一定速度で回転する観覧車の運動は、三角関数とその微分を理解する直感的なモデルを提供します。騎手が円形の道を進むと、地面からの垂直高さは時間とともに滑らかかつ周期的に変化します。この垂直方向の動きは、円運動に固有の上昇と下降の繰り返しパターンを反映した正弦関数で正確に表現できます。

高さと変化速度

もしライダーの身長を正弦関数でモデル化する場合、その高さの変化速度はその関数の微分に対応します。この変化率は一定ではありません。代わりに、滑らかかつ周期的に変化し、ライダーが最も速く上下に動いているときに最大値に達し、ライドの最高点と最低点でゼロになります。数学的には、正弦関数の微分は余弦関数です。

これは垂直方向の運動の移動速度を捉えています。

関連する三角関数微分

余弦関数も同様に周期的な挙動を記述しますが、正弦関数に対して位相シフトがあります。その微分は時間とともに値がどのように変化するかを反映し、次のように与えられます。

負の符号は、余弦関数が減少するにつれて正弦関数が増加し、その逆も同様であることを示し、これら二つの関数の密接な関係を示しています。

正弦と余弦の比率として定義される接関数は、周期的な文脈における傾きのような量をモデル化します。その微分は既知の三角関数の結果から直接導かれ、次のように表されます。

これらの微分関係は、観覧車のように一定速度で回転する滑らかで周期的な運動を伴う系において、三角関数が位置と変化率の両方を記述していることを示しています。

一定速度で回転する観覧車を考えてみましょう。点の端の垂直高さは時間とともに滑らかに変化し、正弦波に従って変化します。

ライダーの身長変化率も、波のように滑らかかつ周期的に変化します。この変化率は正弦関数の微分と一致します。

正弦 x の微分を求めるには、微分の極限定義から始め、それを正弦 x に適用します。

まず、加算式を用いて(x + h)の正弦を展開します。次に項を並べ替え、sine xとcosine xを因数分解します。

hがゼロに近づくと、余弦h-1/hはゼロに近づき、正弦h/hは1に近づきます。

これらの極限を代入すると、正弦 x の微分は余弦 x であることがわかります。

同じアプローチで、余弦xの微分は負の正弦xであることが示されます。

接関数は正弦と余弦の比であるため、微分を求めるために商の法則を適用します。さて、正弦関数と余弦関数の微分の値を代入し、三角恒等式で簡略化すると、接線の微分は割線二乗となります。