連鎖律

3つのギアのシステムを考えます。ここでx、y、zはそれぞれ1、2、3のギアの回転速度を表します。

1速が2速を回し、2速が3速を回します。システムは2段階の変数関係を持つチェーンルールを用いて解析されます。

第1段は第2段の回転が第1段に依存し、zはxの関数です。

第2段は第3段の回転が第2段に依存し、yはzの関数として表されます。

したがって、第一段階の出力が次の段階の入力となり、複合関数を形成します。

一つのギアの小さな変速が他のギアのチェンジを引き起こします。yの瞬時変化率を求めるには、デルタxがゼロに近づくときの極限でデルタyとデルタxの比率を取る。中間変数デルタzを導入することで、この比率は書き換えられます。

デルタxがゼロに近づくと、デルタzもゼロに近づきます。このとき、比率の積の極限は2つの微分の積として表され、連鎖法則となります。これにより、複合関数の微分は外関数の微分に内関数の微分を掛けたものとなります。