陰関数の二階導関数

楕円構造は橋のアーチのように、高さを水平次元で簡単に表せないため、しばしば暗黙の方程式で表されます。

このような状況では、暗黙の微分がアーチに沿った勾配の変化を決定するのに役立ちます。

yはxに依存するため、連鎖法則を適用して楕円方程式を微分します。これにより一階微分が得られ、傾きが両方の座標に依存することを示します。

二階微分を求めるには、分子と分母がxに依存するため、商法を用いて再び一次微分を行います。

これにより、依然として一次微分自体を含む新しい式が得られます。次に、一次微分の完全な式を未簡略方程式に代入します。

複素分子を単純化するために、共通の分母を見つけて項を組み合わせます。

元の楕円方程式の並べ替えは、その結合項の分子の単位元を提供します。この恒等式を代入すると、二階微分の最終式が得られます。

正の二次微分は上向きに凹み、負の二次微分は下向きに凹んだ曲率を示し、傾斜や曲率の変化を示し、アーチの安定性を評価するのに役立ちます。