逆双曲線関数とその微分

吊り橋ケーブルの形状は、自重で吊るされるとき、双曲余弦関数を用いてモデル化される架線曲線に従います。

垂直位置 y₁ が既知の場合、逆双曲余弦関数は対応する水平位置 x₁ を見つけるのに役立ちます。

逆双曲関数には、逆双曲の正弦、余弦、接線と、それらの余正弦、割線、余接線の対応関数が含まれます。

逆双曲余弦関数の微分を求めるには、まず双曲余弦関数で表します。

両辺を暗黙的に微分すると、双曲正弦関数を含む関係が得られます。

双曲正弦と余弦を関連付ける標準恒等式を用い、双曲正弦の代わりに式を置き換えることで、双曲余弦の微分が得られます。双曲余弦を消すと、垂直位置の最終的な式が得られます。

この式は、吊り橋の架線曲線の水平位置の変化率が垂直位置に依存することを示しています。

傾斜は支柱付近で大きく、中心部は小さくなります。