二項定理

花の列を並べ、各場所にバラまたはチューリップを植えることを想像してみてください。

組み合わせの総数は、aにbを加えてnの累乗で与えられ、nは花の数であり、aとbはそれぞれバラとチューリップを表します。二項定理は、kチューリップと(n-k)バラを配置する方法の数を示します。

a プラス b を n 乗に展開すると、二項係数を含む k によってインデックス化された項が 0 から n まで生成されます。

「n choose k」と書かれた二項係数は、 n の階乗を k 階乗と n から k 階乗を引いた積で割った階乗として定義されます。

理解するには、 n が 3 に等しく、 k が 2 に等しいと考えてください。この係数は、チューリップの 3 つのスポットから 2 つの位置を選択する独自の方法を提供します。

展開には各変数の累乗も含まれます:一方の変数の累乗は減少し、もう一方の変数の累乗は増加します。

一般的な項には、二項係数に、 n から k を引いた最初の変数と k に引っ張った 2 番目の変数を乗算した二項係数が含まれます。

花を配置することで計画が簡素化されるのと同じように、二項定理は二項式の展開と大きな累乗の係数の計算を簡素化します。