回転体の体積

不規則な形状の物体の体積は、回転立体の概念を用いて正確に決定できます。例えば、二次元平面上の曲率関数を考えます。この曲線をx軸に回転させることで、回転立体として知られる対称的な三次元形状が生成されます。この地域が回る線が自転軸です。

領域が軸に真っ直ぐ向にある場合、固体の円形断面が形成されます。このような固体の体積を求めるには、ディスク法が用いられます。

この方法は、固体を軸に対して垂直な薄いスライスに分割します。各スライスは、軸から曲線までの距離に等しい小さな幅と半径を持つ円盤となります。

各円盤の体積は、その面積に厚さを掛けて得られます。固体の総体積は、形成されたすべての円盤の体積の合計で近似されます。

円盤の数が増え、その厚さがゼロに近づくと、与えられた区間における断面積の定積分に和移り、正確な体積が得られます。

積分変数と半径の式は軸の向きに依存します。