断面積を用いた体積の求積

断面積が既知の立体の場合、これらの面積をスライスに垂直な軸に沿って積分することで体積を求めます。

高さ がh で、辺 がaの正三角形の底面を持つ四面体を考えます。

原点は頂点の上部に配置され、 y軸は高さに沿って伸びます。

この軸に垂直に取る断面は、頂点から底面にかけて大きくなる小さな正三角形を形成します。

x軸に平行な底辺が一つある場合、高さyの各小さな正三角形の辺長は類似の三角形を用いて求めます。これはy×h×aのスケールです。

各正三角形の面積は、その辺の平方の平方根3を4乗せたものです。これらの領域は高さに沿った断面の変化を示しています。

四面体の体積は、頂点から底面までのこれらの領域を積分することで求められます。結果は高さと底辺の二乗の積に比例します。

測量士はこの方法を使って、変化する断面を測定し、それらを統合して正確な材料見積を得て、不規則な砂利の積を算出します。