セカントとタンジェントの冪の積分

接のべき乗と割れ方を含む積分は置換法で解くことができ、割れのべき乗が偶数か接のべき乗が奇数かによって解かれます。

割れのべき乗が偶数であれば、新しい変数として接を選びます。なぜならその導関数は割れ平方であり、これは因数分解可能だからです。

割線の残りの偶数乗は、割線の二乗と接二乗を関連付ける恒等式を用いて完全に接項に変換できます。

この置換により積分は多項式に変わり、それを積分して元の変数に戻します。

接のべき乗が奇数の場合は、同様の方法が用いられます。割れ切りを新しい変数とします。その微分割切り時間は因数分解で除外できます。

三角恒等式を使って、接の残りの偶乗を割れ目で書き換えます。

代入後、積分は多項式式となり、直接積分することができます。

最後に、結果を元の三角関数に戻して解を完成させます。