三角関数置換

非常に楕円形の軌道を持つモルニヤ衛星は、地球の周りを一周するごとに異なる空間領域を追跡します。

囲まれた面積を推定するために、軌道は標準形の楕円としてモデル化され、その後平方根項を含む式に再配置されます。

楕円は両軸に対して対称であるため、第一象限の面積は積分を用いて計算し、その後4を掛けて総面積を得ます。

ここでは、平方根の関係で直接積分が困難です。これを解くために、正弦関数の観点からxを代入することで三角代入が用いられます。この置換は平方根項を単純な余弦関数に変換し、微分はそれに応じて変化します。

積分限界は角度領域に対応するように更新され、0からπ 2の範囲で変化します。積分過程を簡素化するために、積分関数は三角恒等式を用いて書き換えられます。この定積分は新しい極限上で評価されます。

最終式は、1周の完全な軌道で衛星が掃過した総面積を示します。