血流を求めるための積分の応用

血管内の血流は、中心からの径距離に伴い速度が変化する層流の法則を用いて記述できます。

総血流量は、断面を半径の異なる薄い同心円状に分割することで近似できます。

各リングの面積は、その周囲長に小さな厚さを掛けたもので表されます。

各環を通る流れは、その面積とその半径での速度の積として近似できます。

すべての環に対してこれらの流れを和にすると、リーマン和と呼ばれる近似的な全流れが得られます。

環の数が無限大に近づくにつれて、リーマン和は中心から血管壁までの定積分で表される正確な値に近づきます。

積分における速度関数は層流の法則から来る。距離rでの速度は圧力差、流体の粘度、容器の長さに依存すると述べています。

速度式を積分に代入し、血管半径に積分すると正確な血流が得られます。

この結果はポワズイユの法則と呼ばれ、流れが容器の半径の4乗に比例することを示しています。そのため、血管が少し狭くなるだけで血流が急激に減少します。