微分方程式入門

微分方程式とは、未知の関数とその微分のうち1つ以上を含む方程式のことです。微分方程式の位数は、方程式内に存在する最高次微分によって与えられます。

方程式が一階微分のみを含む場合、それは一階と呼ばれます。もしそれが二階微分を含む場合は二階と呼ばれ、以下も同様です。

例えば、ばね-質量系は単純な調和振動子としてモデル化でき、質量に対する正味の力とばねの回復力を等しくし、線形ばねのフックの法則で記述されます。

ばね力は変位とは逆方向に働き、質量が平衡位置からどれだけ動くかに比例します。

ニュートンの第二法則は質量にかかる正味の力とその加速度を結びつけています。これら二つの関係を組み合わせると、質量×加速度が負の定数×変位に等しい方程式が得られます。

加速度を時間の変位の二階微分として書き換えることで、二階微分方程式が得られます。

この二階微分は系の運動を微分方程式に結びつけます。