分離可能微分方程式

分離方程式とは、 x のみを含む部分と yを含む独立した部分の2つに分割できる一階微分方程式のことです。

y項は片側に、x項はもう片側に配置され、別々の積分を可能にします。

例えば、部屋で冷やしている熱い紅茶を考えてみましょう。

お茶の冷え方は、その温度と室温の差に比例します。温度が時間とともに低下することを示すために、比例定数 k に負の符号が付加されます。

この方程式は、片側に温度項、もう片側に時間項を書き換えられるため、分離可能である。両辺を積分すると積分定数を持つ対数方程式が得られます。

両辺を指数化すると、定数が正、負、またはゼロになることがある一般解が現れます。定数は 、t を0に置き換え、初期温度を代入することで求められます。

温度差は指数関数的に減少し、最初は急速に冷め、その後徐々にゆっくり冷めていきます。