高等教育におけるストレス調節と感情行動の非線形動的システムモデリング

サマリー

本プロトコールでは、高等教育におけるストレスと感情のダイナミクスをモデル化するための、物理学に着想を得た非線形状態空間フレームワークを提示します。これにより、微分方程式、安定性解析、およびストカスティック・シミュレーションを用いて、バーンアウトの閾値、振動的なストレスサイクル、レジリエンス、および適応的調節を分析することが可能になります。

要約

高等教育におけるストレス調節と感情行動は、一般的に、メカニズムに基づく動的な構造を欠いた記述統計モデルを用いて検証されています。しかし、学業ストレスは、閾値効果、バーンアウト、適応反応などの非線形的な挙動を示し、これらは線形モデルでは十分に捉えることができません。本研究では、非線形力学系の視点を採用し、高等教育におけるストレス調節と感情行動をモデル化します。本研究の主な目的は、高等教育におけるストレスと感情の結合および適応的な調節を厳密にモデル化する、物理学に着想を得た非線形状態空間フレームワークを開発することです。本プロトコルでは、ストレス、感情的な活性化、および調節能を記述する非線形状態空間モデルを構築します。利用者は本プロトコルを実装することで、システムのダイナミクスをシミュレーションし、さまざまな学業条件下での安定性を評価できます。このフレームワークには、レジリエンス、不安定性、およびバーンアウトに関連する転移を調査するための非線形安定性解析と確率論的シミュレーションが組み込まれています。シミュレーションの結果、従来の線形モデルでは捉えられない非線形安定性、レジリエンス効果、およびレジーム転移が示されました。これらの結果は、高等教育におけるストレス調節が非線形力学系として挙動することを示唆しています。非線形ダイナミクス、エネルギーランドスケープモデリング、および適応的調節理論を統合することで、本研究は学術環境におけるレジリエンス、不安定性、および回復プロセスを説明する統一的な予測フレームワークを提供します。このフレームワークは、学生のウェルビーイングとバーンアウトのリスクに関する今後の研究の基礎となります。本フレームワークは、学生のウェルビーイングやストレス調節に関心を持つ研究者や実務者に有用です。

概要

高等教育におけるストレス調節と感情行動は、内部の心理的フィードバックと外部の学問的プレッシャーの複合的な影響の下で、時間の経過とともに展開する複雑な力学的プロセスとして解釈することができる¹。コースワーク、試験、組織的な期待、および社会的評価は、学生の感情状態を絶えず乱し、不安、モチベーション、およびエンゲージメントの変動を引き起こす²。これらの感情的反応は、認知的評価、コーピング戦略、および適応的な調節メカニズムによって制御される多次元的な相空間の中で展開される³。教育心理学における古典的なストレス反応モデルでは、通常、ストレス刺激と感情反応の間の比例関係を想定しており、これらの関係を特徴付けるために回帰分析や記述統計指標に依存することが多い⁴。しかし、経験的な観察からは、閾値効果、飽和、ヒステリシス、ならびにバーンアウトや感情的崩壊を含む急激な転移といった非線形的な特徴が一貫して示されている⁵。安定した条件下では、小さなストレッサーは無視できる程度の感情変化しか引き起こさないが、臨界閾値付近では、不釣り合いな感情反応を誘発することがある⁶。このような挙動は、平衡から遠く離れた状態で維持されている物理系で観察される非線形振動や分岐現象に似ている⁷。この視点に基づけば、学生は、調節と適応を制御するフィードバックプロセスを通じて、学問的環境とストレスに関連する「エネルギー」を絶えず交換する開放散逸系として概念化できる⁸。

教育学的および心理学的な観点から、本フレームワークで用いられている概念は直感的に解釈することが可能です。ストレス蓄積は、学業上の要求や環境的なプレッシャーによって生じる漸進的な負担を表します。感情活性化は、不安、挫折感、モチベーション、エンゲージメントなどの感情状態の変化を反映し、一方で調節能は、学生が困難に適応するのを助けるコーピングおよび自己調節メカニズムに対応します。今後の実証的な実装に向けて、ストレス蓄積は知覚ストレス尺度を用いて、感情活性化は妥当性が確認された不安、気分、または感情的ウェルビーイングの測定ツールを用いて、そして調節能はレジリエンス、コーピング、または自己調節の指標を用いて評価できると考えられます。これらのマッピングは、将来的なパラメータ推定およびモデル較正のための実践的な基盤を提供します。このような文脈において、安定性、レジリエンス、臨界転移といった非線形概念は、心理学的適応の異なるパターンとして理解することができます。安定状態は均衡のとれた感情機能を、レジリエンスは乱れから回復する能力を反映し、臨界転移は慢性的なストレスや燃え尽き症候群などの不適応な結果への急激な移行に対応します。これらの解釈により、教育心理学と非線形動的システム理論の間に明確な概念的橋渡しが構築され、提案されたフレームワークの学際的な聴衆に対するアクセシビリティが向上します。

これらの相互作用の概念的な概要を示すため、図1に高等教育システムにおける動的なストレスと感情の相互作用の構造を示します。この図では、学業上の要求から生じるストレス入力、心理状態の進展を表す感情応答変数、およびフィードバックループを通じてシステムを調節する適応的な調節メカニズムが提示されています。これらの構成要素は動的に相互作用し、ストレスと感情の相空間内に軌跡を描き、それは安定した感情状態へと収束するか、あるいは不適応的な領域へと発散します。この概念的な表現は感情調節の動的な性質を強調していますが、既存の心理学的モデルにおいて、これらの関係を時間的進展を記述する明示的な数学的構造へと変換している例はほとんどありません。

図1: 高等教育システムにおけるストレスと感情の動的な相互作用の概念図。この図は、学術環境におけるストレスと感情のダイナミクスの概念的な構造を示しています。この図では、学業上の要求から生じるストレス入力、心理状態の変遷を表す感情反応変数、およびフィードバックループを通じてシステムを調節する適応的な制御メカニズムが示されています。こちらのリンクをクリックして、この図の拡大版を表示してください。

現在のモデリング手法の限界は、既存のストレスモデリング文献における主要な研究ギャップを特定した概念的枠組みを示す図2にさらに詳しく示されています。この図の中心にあるのは、ストレスと感情の相互作用に関するメカニズムに基づいた動力学的枠組みの欠如です。この限界の周囲には、現在の研究を特徴づける相互に関連したいくつかのギャップが存在します。第一に、多くの研究が相関ベースのストレス指標に依存しており、時間的推移やフィードバックダイナミクスを記述するための支配方程式を欠いています⁹。第二に、バーンアウトや感情的不安定性は、ヤコビ行列や固有値に基づく基準を用いた形式的な安定性解析ではなく、定性的に記述されることが頻繁にあります¹⁰。第三に、既存のモデルには、感情調節システム内でのレジリエンスや吸引圏の幾何学的構造を定量化できるエネルギーランドスケープ表現が欠けています¹¹。最後に、ストレスと感情反応は、非線形フィードバックプロセスによって制御される動的に結合した状態変数としてではなく、独立変数として扱われることが多くあります¹²。これらのギャップを総合すると、高等教育におけるストレスシステムでの振動挙動、マルチスタビリティ、および相転移を記述可能な、厳密な動力学的モデリング枠組みの必要性が浮き彫りになります。

図 2: 既存のストレスモデリング文献における研究上のギャップを示す概念的枠組み。この図は、現在のストレスモデリング手法における主な限界について概念的な概要を示している。ダイアグラムの中心にあるのは、ストレスと感情の相互作用を記述するメカニスティックな動的枠組みの欠如である。ここをクリックして、この図の拡大版を表示してください。

これらの限界に対処するため、図 3 に本研究で開発した非線形力学モデリングアーキテクチャを提案します。このフレームワークは、ストレス蓄積ダイナミクス、感情活性化変数、および適応的な調節フィードバック機構を、統一された非線形状態空間定式化の中に統合したものです。このフレームワークにおいて、システムの進化は、内部調節ダイナミクス、外部強制効果、および予期せぬ学業上の出来事に起因する確率論的摂動を捉えた非線形微分方程式によって記述されます。このような定式化により、平衡点解析、分岐解析、リャプノフ安定性理論、確率的安定性手法を含む非線形力学システム理論のツールを用いて、ストレスと感情の相互作用を分析することが可能になります^13,14,15,16。明示的な支配方程式を導入することで、継続的な環境強制および内部フィードバックプロセスの下で、感情状態が時間とともにどのように進化するかを厳密に分析することが可能となります。

図 3: ストレスと感情調節に向けた非線形力学モデリングアーキテクチャの提案。本図は、高等教育システムにおけるストレスと感情の相互作用をモデリングするために、本研究で開発された非線形力学フレームワークを示す。このアーキテクチャは、ストレス蓄積のダイナミクス、感情活性化変数、および適応的な調節フィードバックメカニズムを、統合された状態空間形式へと組み込んでいる。こちらのリンクをクリックして、本図の拡大版を確認してください。

本研究で提示する手法の全体的な目的は、高等教育におけるストレス調節を、マルチスタビリティ（多安定性）、振動レジーム、および臨界遷移を示すことが可能な力学系として分析することを可能にする、メカニスティックな非線形モデリングフレームワークを構築することである。従来の線形ストレス指数モデルとは異なり、提案するフレームワークでは、蓄積されたストレスエネルギー、感情的な活性化、および適応的調節能力の間の非線形フィードバック相互作用を明示的に組み込んでいる^17,18,19,20。これらの非線形相互作用により、平衡状態の特定、安定余裕の特性評価、およびバーンアウトへの遷移に関連するティッピングポイントの検出が可能となる。さらに、本フレームワークでは感情調節のエナジーランドスケープ解釈を導入しており、そこではリアプノフ型のポテンシャル関数によって感情状態の安定構造が記述される^21,22,23。この表現において、レジリエンスは吸引圏（basin of attraction）の深さによって定量化でき、一方で不安定性の閾値は、安定なアトラクターが消失する分岐点に対応する。

リアリズムを高めるため、本モデルには学期のサイクルを表す周期的な強制項と、予期せぬ学術的イベントや環境変動を捉える確率的摂動が組み込まれています^24,25,26。これらの拡張により、試験期間中の振動的なストレスサイクルや、ノイズ駆動による感情状態間の遷移など、現実的な学業ストレスのダイナミクスをシミュレートすることが可能になります。このようなモデリング能力は、不安定性の閾値やレジリエンスメカニズムの予測分析を可能にすることで、純粋な統計的手法よりも優れた利点を提供します。

非線形力学的なアプローチは、これまで生物学的調節、神経科学、複雑な社会システムなどの分野に適用されてきました。これらの分野では、フィードバック駆動型のプロセスによって、線形モデルでは説明できない創発的な挙動が生じます^27,28,29。高等教育におけるストレス調節に同様の原理を適用することで、教育心理学と力学系理論が結びつき、数学的に厳密な枠組みの中で感情調節プロセスの分析が可能になります。非線形力学モデリング、安定性理論、およびエネルギーランドスケープ解析を組み合わせることで、本手法は、学術環境におけるストレスダイナミクス、レジリエンスメカニズム、および感情的安定性を調査するための統一的なプラットフォームを提供します³⁰。

最終的に、この枠組みによって研究者は、ストレスがどのように蓄積し、感情的反応がどのように進化し、適応的な調節メカニズムが長期的なシステムの安定性にどのように影響するかを分析することが可能になります。したがって、このアプローチは、高等教育システムにおけるレジリエンス、バーンアウトへの移行、および回復プロセスを研究するための強力な手法的なツールとなります。手法的な貢献にとどまらず、提案された枠組みは、教育心理学と非線形力学系科学の間の学際的な架け橋となることを目的としています。ストレス蓄積、感情的活性化、レジリエンス、適応的調節といった心理学的プロセスを、数学的に扱い可能な状態変数に変換することで、この枠組みは、厳密な力学的なツールを用いて複雑な教育現象を調査するための共通の分析言語を提供します。この統合により概念的な明確さが向上し、行動および心理学的測定を用いた将来的な経験的キャリブレーションが促進され、学術環境におけるストレス調節の予測的および説明的なモデルの開発がサポートされます³¹。簡単に言えば、提案された枠組みは、学業上のストレスがどのように蓄積し、感情的反応が時間の経過とともにどのように変化し、コーピングメカニズムが回復とレジリエンスにどのように影響するかを検討するものです。本モデルは、学生が感情的な安定を維持できる条件、あるいはバーンアウトに対して脆弱になる条件を特定することを目的としており、これにより心理学理論と定量的システム分析を橋渡しします。

プロトコル

本プロトコルでは、ヒトまたは動物を用いた実験は行われていません。本研究は、高等教育システムにおけるストレスと感情のダイナミクスに関する数学的モデリングおよび計算シミュレーションのみに基づいています。本プロトコルに記載された非線形動的モデリングフレームワークを実装するために必要な計算ツール、ソフトウェア環境、および数値リソースは、材料表（Table of Materials）に記載されています。

1. モデルの初期化と計算環境の構築

1. 計算環境を起動し、シミュレーション研究用の新しいプロジェクトディレクトリを作成する。ソフトウェアの詳細については、Supplementary File 1に記載されている。
2. 非線形ストレス・感情・調節フレームワークを実装するため、StressEmotionModel.mという名前のプライマリ・スクリプトファイルを作成する。
3. 動力学系を表す3つの状態変数を定義する。
   1. S(t)を蓄積された学業ストレス、E(t)を感情的活性化として定義する。
   2. R(t)を適応的調節能として定義する。
4. パラメータ初期化ファイルを作成し、すべてのベースラインモデルパラメータに値を割り当てる。
5. ベースラインパラメータセットを次のように定義する。
   1. 外部強制パラメータ F を 2.0 に設定する。ストレス散逸パラメータ β を 0.30 に設定する。
   2. ストレス・感情結合パラメータ γ を 0.50 に設定する。調節ゲインパラメータ κ を 0.40 に設定する。
   3. 感情感度パラメータ α を 0.80 に設定する。感情緩和パラメータ δ を 0.50 に設定する。
   4. 非線形飽和パラメータ µ を 0.10 に設定する。調節介在相互作用パラメータ η を 0.20 に設定する。調節減衰パラメータ λ を 0.25 に設定する。
6. 初期状態ベクトルを定義する。
   1. S(0) = 1.0 に設定する。
   2. E(0) = 0.5 に設定する。
   3. R(0) = 0.8 に設定する。
      注：感度分析を行う場合を除き、すべてのベースラインシミュレーションで同一のパラメータ値を使用すること。

2. 非線形力学モデルの実装

1. ストレス、感情、および調節のダイナミクスを制御する連立微分方程式を含む関数ファイルを作成します。制御方程式はSupplementary File 1（Section S1.2）に記載されており、対応するMATLAB実装はSupplementary File 1（Section S1.8）に提示されています。
   注：ベースラインモデルのパラメータ、初期条件、数値ソルバーの設定、および制御非線形常微分方程式は、Supplementary File 1（Sections S1.2–S1.6）に記載されています。特に指定がない限り、これらのパラメータはすべての数値シミュレーションを通じて一貫して使用されます。
2. Supplementary File 1のSection S1.2に記述されている制御非線形力学系に従い、累積ストレス状態変数 S(t) のストレス進展方程式を実装します。この方程式の対応する計算実装は、Supplementary File 1のSection S1.8（Function 1: Model Equations）に提供されています。
3. Supplementary File 1のSection S1.2に記述されている感情賦活方程式を実装します。感情賦活方程式のMATLAB実装は、Supplementary File 1のSection S1.8（Function 1: Model Equations）で利用可能です。
4. Supplementary File 1のSection S1.2に記述されている非線形モデルに従い、調節能力状態変数 R(t) を制御する適応的調節方程式を実装します。対応するMATLAB実装は、Supplementary File 1のSection S1.8（Function 1: Model Equations）に提供されています。
5. ランダムな学業上の妨害および環境変動をシミュレートするために、各状態変数に独立したガウスノイズ項を導入し、オプションの確率的摂動を有効にします。
6. ベースラインモデルのパラメータと初期条件を同一に保ちながら、異なるランダムノイズシーケンスを用いて30回の独立した確率的実現（n = 30）を行います。
7. 平均軌跡および対応する変動推定値を計算します。Resultsセクションで報告されるエラーバーは、これらの独立した実現にわたる統計的変動を表しています。
8. シミュレーション区間 0 ≤ t ≤ 500 において、相対許容誤差 1 × 10⁻⁶、絶対許容誤差 1 × 10⁻⁸、初期積分ステップ 0.001、最大ステップサイズ 0.05 の ODE45 数値ソルバーを使用して、非線形力学系を積分します。
9. 詳細な計算実装、ソルバー設定、およびシミュレーションワークフローを、Supplementary File 1のSections S1.6–S1.11に提示します。
10. 確率的振幅を次のように定義します。
    1. σS = 0.05 に設定します。
    2. σE = 0.05 に設定します。
    3. σR = 0.03 に設定します。
11. 数値積分中、すべての状態変数が非負に留まるように制約します。
12. 後処理において、負の数値はゼロに置き換えます。

3. 数値シミュレーション

1. 数値ソルバーを構成する。
   1. 決定論的シミュレーションにはODE45を選択する。
   2. 確率論的シミュレーションを行う場合は、同等の確率的積分ルーチンを選択する。
   3. 初期状態の推定値を[1, 1, 1]として、MATLABのfsolve関数を用いて平衡状態を数値的に決定する。ソルバーが指定された数値許容誤差の下でデフォルトの非線形収束基準を満たしたとき、反復解は収束したとみなされる。
      ​注：完全な実装はSupplementary File 1のSection S1.8（Equilibrium Solver）に記載されている。
2. 数値ソルバーの設定を定義する。
   1. 相対許容誤差を10⁻⁶に設定する。絶対許容誤差を10⁻⁸に設定する。
   2. 最大ステップサイズを0.05に設定する。初期ステップサイズを0.001に設定する。
3. シミュレーション間隔をt = 0からt = 500までと定義する。
4. Δt = 0.1の間隔で出力トラジェクトリをサンプリングする。
5. 数値積分を実行する。
6. シミュレーションされたS(t)、E(t)、およびR(t)のトラジェクトリを保存する。
7. 後続の解析のため、シミュレーション出力をカンマ区切り値（CSV）形式でエクスポートする。
   一時停止ポイント：この段階で、すべてのシミュレーショントラジェクトリと数値出力が生成され、エクスポートされた。ワークフローはここで一時停止し、アーカイブされたパラメータファイルとシミュレーション出力を再読み込みすることで、平衡解析、安定性解析、可視化、および感度解析に進む前に後で再開させることができる。

4. 平衡および安定性解析

1. すべての状態導関数をゼロとおいて、平衡解を算出します。得られた非線形代数方程式を、数値的な根探索アルゴリズムを用いて解きます。
   注： 連続する2つの状態ベクトルの絶対差が指定された収束条件を満たしたとき、定常状態解に達したとみなされます。詳細な収束条件は、Supplementary File 1のSection S1.7に記載されています。
2. 各平衡点においてヤコビ行列を計算します。次に、ヤコビ行列の固有値を算出します。
3. 最大実固有値の符号に基づいて、平衡状態を分類します。すべての固有値の実部が負である場合、その平衡状態を安定としてラベル付けします。
4. 安定および不安定な動作領域の分布を示す安定性マップを作成します。

5. 位相空間および時間領域の可視化

1. S(t)、E(t)、および R(t) の時間領域プロットを生成します。S–E平面の二次元相図を作成します。
2. E–R平面の二次元相図を作成します。S–E–R状態空間における三次元軌跡を生成します。
3. 適用可能な場合は、相図にベクトル場と流線プロットを重ね書きします。すべての図を、記録および出版用に高解像度の画像形式で保存します。

6. 感度分析

1. 感度解析スクリプトを作成する。他のすべてのパラメータをベースライン値に維持したまま、1つのパラメータを一度に変化させる。ストレス・感情結合パラメータの感度解析を行う。
2. ストレス散逸パラメータの感度解析を行う。調節ゲインパラメータの感度解析を行う。外部強制パラメータの感度解析を行う。
3. 非線形感情飽和パラメータの感度解析を行う。各パラメータ値についてシミュレーションを実行する。
4. 各シミュレーション後、定常状態の感情平衡を算出する。すべての平衡値を結果データベースに保存する。
5. Supplementary File 1のSection S1.10に記載されている定義済みの範囲で、主要なモデルパラメータを独立して変化させることで、1パラメータ感度解析を行う。具体的には、γを0.1から2.0まで0.1刻みで、βを0.1から1.0まで0.05刻みで、κを0.1から2.0まで0.1刻みで、Fを0.5から5.0まで0.25刻みで、そしてµを0.01から1.0まで0.05刻みで変化させる。
   注意： 各パラメータ値について数値積分を行い、定常状態解を算出し、得られた状態変数を保存し、対応する感度曲線および比較プロットを作成する。
6. 感度曲線を作成する。比較散布図を作成する。
7. 比較棒グラフを作成する。パラメータ応答ヒートマップを作成する。

7. 出力の生成と検証

1. すべてのシミュレーションの収束を確認します。シミュレーション期間全体を通じて、状態軌道が有界に保たれていることを確認してください。
2. 後続の解析に進む前に、数値解が定常状態に達していることを確認します。
   注意：すべての状態変数の連続的な変化が、Supplementary File 1のSection S1.7（収束基準）に記載されている定義済みの収束基準を満たしたときに、収束したとみなします。その後の平衡、安定性、および感度解析には、収束した解のみを使用します。
3. 平衡解が収束基準を満たしていることを確認します。すべてのシミュレーション出力、安定性マップ、相平面図、感度プロット、および数値データセットをエクスポートします。
   注意：特に断りのない限り、すべてのシミュレーションにはSupplementary File 1に提示されているベースラインパラメータセットを使用し、すべての数値解析はSupplementary File 1のSection S1.9にまとめられた計算ワークフローに従います。報告されたシミュレーションを再現するために必要な完全なMATLABソースコード、パラメータファイル、ソルバー設定、および可視化ルーチンは、Supplementary File 1に提供されています。
4. 再現性と将来の検証研究のため、すべてのスクリプト、パラメータファイル、および出力ファイルをアーカイブします。
   注意：報告された結果を独立して再現できるように、すべてのMATLABソースコード、パラメータファイル、プロッティングルーチン、およびシミュレーションワークフローを補足資料として提供してください。

結果

提案した非線形力学フレームワークを検証し、従来の線形定式化に対する優位性を実証するために、包括的な数値シミュレーション研究を実施した（Supplementary File 2）。特に断りのない限り、すべての確率論的シミュレーション結果は、30回の独立した試行（n = 30）から得られた平均値 ± 標準偏差（SD）として提示している。シミュレーションシナリオ間の統計的比較は、有意水準 p < 0.05 の適切な統計検定を用いて行った。統計的比較を行った箇所については、正確なp値を報告している。本シミュレーションでは、パラメータを系統的に変化させた際の非線形ストレス・感情・調節モデルの挙動を評価し、その構造的応答を従来の線形ストレスモデルの応答と比較した。支配微分方程式の数値積分は、定常状態または漸近的領域への収束を確実にするため、十分に長い時間範囲にわたって行った。各実験において、両モデルに同一のベースライン条件を適用し、単一のパラメータを定義された範囲内で変化させた。得られた定常感情状態、過渡力学、および安定性特性を記録・可視化し、システム挙動における構造的な違いを明確にした。非線形システムが有界な定常状態解に収束し、相空間において安定したアトラクタ構造を示し、かつベースラインパラメータ条件下でヤコビ行列の支配的な固有値が負に維持されたことで、プロトコルの実装が成功したことを確認した。

比較分析では、ストレス-感情結合強度（γ）、ストレス散逸率（β）、外部強制振幅（F）、調節ゲイン（κ）、および感情非線形係数（µ）を含む、いくつかの主要な力学パラメータに焦点を当てた。これらのパラメータは、モデル化された学術環境内におけるフィードバック強度、安定余裕、およびエネルギー再分配に直接的に影響を与える。シミュレーションにより、システム応答が線形モデルで予測される比例スケーリング挙動に従うか、あるいは提案された非線形定式化で予測される飽和、レジリエンス・バッファリング、マルチスタビリティなどの非線形現象を示すかが明らかになる。

ストレスと感情の結合強度に対する感情平衡の感度を図 4 に示す。結合パラメータ γ が増加しても、線形モデルでは感情反応がほぼ一定であり、結合強度が平衡結果に構造的な影響を与えないことが示されている。対照的に、非線形定式化では γ の増加に伴い定常的な感情活性化が低下しており、これはストレスと感情のフィードバックを動的に調節する非線形相互作用項の影響を反映している。

図4: ストレス–感情結合強度（γ）における感度比較分析。ストレス–感情結合強度γの増加に伴う定常状態の感情反応のグループ化棒グラフ比較。青色の棒は線形モデルを、オレンジ色の棒は非線形モデルを表す。横軸は結合強度γを、縦軸は定常感情平衡を示す。棒は繰り返しシミュレーションから得られた定常状態感情値の平均値を表し、エラーバーは平均値の±標準偏差（SD）を示す。結果は、結合強度の増加に伴い、非線形モデルが飽和挙動と有界な感情反応を示すのに対し、線形モデルは結合強度の変化に対して比較的鈍感であることを示している。棒は30回の独立したシミュレーションラン（n = 30）から得られた定常状態感情平衡値の平均を表し、エラーバーは±標準偏差を示す。この図の拡大版を表示するには、ここをクリックしてください。

ストレス消散率 β が感情の平衡に及ぼす影響を図5に示す。線形モデルでは、消散率の増加に伴い感情的な活性化が急激に低下することが予測されており、パラメータに対する高い感受性が示されている。対照的に、非線形モデルでは、固有の調節ダンピングおよび非線形フィードバック機構により、同一のパラメータ範囲において比較的安定した状態が維持される。

図5: ストレス解消率（β）における面積の比較分析。ストレス解消率βの変化に伴う定常状態の感情平衡の面積ベースの比較。青色の網掛け領域は線形モデルを、オレンジ色の網掛け領域は非線形モデルを表す。横軸はβを、縦軸は定常感情平衡を示す。この図の拡大版を表示するには、ここをクリックしてください。

感情的な活性化と外部からの学業的強制との関係を図 6に示す。線形定式化では、強制振幅の増加に伴い、感情的な活性化が比例的に増大することが示されている。一方、非線形モデルでは飽和応答が示されており、感情的な活性化は当初上昇するが、非線形減衰と適応的な調節効果により徐々に安定化する。過剰なストレス・感情カップリングや不十分な調節利得など、最適ではないパラメータ条件下では、システムは不安定な軌道、振動の増大、または平衡安定性の喪失を示した。これはシステムの安定性の低下を示しており、心理的負担の増大やバーンアウトのような転移への感受性の増加に関連する状態を表している可能性がある。

図 6: 外力 (F) 下における感情平衡の比較応答。外力振幅 F の関数としての定常状態の感情応答。赤色の破線は線形モデルを、青色の実線は非線形モデルを表す。横軸は外力振幅 F を、縦軸は定常的な感情平衡を示す。ここをクリックして、この図の拡大版を表示してください。

確率論的摂動下における非線形システムの堅牢性は図7に示されており、ランダムな妨害下での感情的活性化とストレスエネルギーの時間的推移が示されています。継続的なノイズ注入にもかかわらず、両方の変数が限定された範囲内で変動しており、非線形フィードバック機構が環境変動下で安定性を維持していることが分かります。

図7: ノイズ誘導摂動下における確率論的なストレス・感情ダイナミクス。確率的摂動下における感情活性化 E(t)（青線）とストレスエネルギー S(t)（橙線）の時間発展。横軸はシミュレーションの時間ステップを表す。連続的なノイズ駆動の攪乱があるにもかかわらず、両方の変数は拘束されたままである。こちらのリンクをクリックして、この図の拡大版を表示してください。

エネルギー景観解析により、システムの安定性に関するさらなる知見が得られます。図8は、感情調節相平面におけるリャプノフに基づくエネルギー関数の等高線表示を示しており、そこではシステムの軌道が安定なアトラクタの盆地へと収束しています。このエネルギー構造の三次元表示を図9に示します。ここでは複数のポテンシャル井戸が明らかになっており、代替的な安定感情調節状態が存在する可能性が示唆されています。

図8: 感情調節相平面における力学的軌道を含むエネルギーランドスケープの等高線マップ。感情活性化（E）および調節能力（R）の相平面におけるリアプノフに基づくエネルギーランドスケープの等高線表示。黒い軌道は、安定したアトラクタの盆地（basin of attraction）へのシステムの進化を示している。こちらのリンクをクリックして、この図の拡大版を表示してください。

図 9: 代替的な情動調節状態の可能性を示す三次元非線形エネルギーランドスケープ。情動調節（E–R）相空間におけるリアプノフ・エネルギーランドスケープの三次元表現。複数のポテンシャルの井戸は、異なるシステム条件下で代替的な安定情動調節状態が存在する可能性を示唆している。このエネルギーランドスケープはシステムの安定性構造を定性的に可視化するものであるが、マルチスタビリティの直接的な確認には、軌道の切り替わりや分岐解析などの追加的な力学的な証拠が必要である。こちらのリンクをクリックして、この図の拡大版を表示してください。

非線形システムの安定性特性について、固有値ベースの手法を用いてさらに解析を行った。図10に、ストレスと感情の結合強度（γ）および調節ゲイン（κ）の異なる値における、ヤコビ行列の最大実固有値のヒートマップを示す。調節強度を高めると固有値はより負の値となり、漸近安定性が強まることが示される。一方で、十分な調節によってバランスが保たれていない場合、過剰な結合は安定性を低下させる可能性がある。最大実固有値が負である領域は安定した動作条件に対応し、0に近づくか0を超える領域は不安定性の閾値および潜在的なレジーム転移を示している。

図 10: 最大実固有値に基づく非線形ストレス・感情系の安定性ヒートマップ。ストレス・感情の結合強度 γ および調節ゲイン κ におけるヤコビ行列の固有値の最大実部を示すヒートマップ。値がより負であるほど漸近安定性が強く、値がゼロに近づくほど安定性が低下し、不安定になる可能性が高くなることを示す。こちらのリンクをクリックして、この図の拡大版を表示してください。

位相空間のダイナミクスは図11に可視化されており、S–E位相平面におけるストレス・感情システムのベクトル場と流線が示されています。軌跡は安定した平衡領域へと収束しており、アトラクター挙動を示しています。この収束挙動は、プロトコルが正常に実装されたことを裏付けるものであり、非線形フレームワークが指定されたシミュレーション条件下で、安定したストレス・感情調節ダイナミクスを一貫して再現することを証明しています。システムの全域的な安定構造は図12にさらに詳しく示されており、複数の初期条件から開始した軌跡が、ストレス・感情平面上の共通のアトラクターへと収束する様子が描かれています。

図 11: ストレス・感情ダイナミクスの相平面ベクトル場および流線表示。ストレスエネルギー (S) と感情的活性化 (E) の相平面における非線形ストレス・感情システムのベクトル場および流線表示。流線は安定した平衡領域に収束しており、アトラクター挙動を示している。こちらをクリックして、この図の拡大版を表示してください。

図12: ストレス–感情平面における複数の初期条件下の高密度相図。S–E相平面における複数の初期条件から生成された相図。軌道が共通のアトラクターに収束しており、多様な初期状態にわたる堅牢な安定性が示されている。こちらをクリックして、この図の拡大版を表示してください。

非線形システムの3次元アトラクタ構造を図13に示す。ここでは、軌道がストレス・感情・調節の統合状態空間の中で展開し、安定したアトラクタへと収束している。結合変数の時間領域ダイナミクスを図14に示す。感情的な活性化とストレスエネルギーは、定常状態の平衡値に収束する前に、過渡的な調整を示す。

図13: ストレス・感情・調節の状態空間における三次元非線形アトラクタ。ストレス (S)、感情的活性化 (E)、および調節能 (R) によって定義される状態空間における非線形システムの三次元軌跡。軌跡は、システムの長期的な平衡状態を表す安定したアトラクタに向かって収束する。この図の拡大版を表示するには、ここをクリックしてください。

図 14: 非線形調節下におけるストレスと感情状態の結合した時間領域発展。感情活性 E(t)（左軸）とストレスエネルギー S(t)（右軸）の時間発展。両変数ともに過渡的な調整を経て、定常状態の平衡へと収束している。こちらのリンクをクリックして、この図の拡大版を表示してください。

適応調節強度が感情平衡に及ぼす影響を図15に示します。調節ゲインκが増加するにつれて、線形モデルでは感情活性化の大幅な低下が予測されますが、非線形モデルでは適応飽和メカニズムにより、平衡値がほぼ一定に維持されます。

図 15: 調節ゲイン (κ) の変化に伴う2軸比較分析。調節ゲイン κ を変化させたときの定常状態における感情平衡の比較。青色の曲線は線形モデルを、赤色の破線は非線形モデルを表す。横軸は調節ゲイン κ を示す。ここをクリックして、この図の拡大版を表示してください。

最後に、図 16に、感情非線形係数（µ）の変化に伴う散布図ベースの感度比較を示します。線形フレームワークでは、非線形項が存在しないため、感情平衡は変化しません。対照的に、非線形モデルではµが増加するにつれて感情平衡が低下しており、感情ダイナミクスに対する3次飽和の安定化影響が実証されています。

図16: 感情非線形パラメータ(µ)における散布図ベースの感度比較。感情非線形係数µを変化させた際の定常状態感情平衡の散布図比較。赤色のマーカーは線形モデルを、青色のマーカーは非線形モデルを表す。こちらのリンクをクリックして、この図の拡大版を表示してください。

観察された力学的挙動は、計算上の重要性に留まらず、教育的および心理学的文脈において有意義な解釈が可能です。確率的摂動下で観察された有界な応答は、適応的な調節メカニズムが予期せぬ学業的ストレッサーの影響を緩衝し、それによってレジリエンスと感情的な安定性を維持できることを示唆しています。同様に、安定したアトラクターの存在は、学生が学業上のプレッシャーをうまく調節できている心理的にバランスのとれた状態と解釈でき、一方で不安定領域や分岐閾値は、コーピング資源が不足し、バーンアウトや感情的消耗、あるいは不適応的なストレス反応への脆弱性が高まる条件に対応していると考えられます。さらに、感度分析の結果は、調節能力を強化することで安定領域を拡大し、破壊的な転移への感受性を低減できることを示しており、コーピングスキル、感情調節、および学生のウェルビーイングの向上を目的とした介入への潜在的な示唆を強調しています。これらのシミュレーションに基づく知見は、提案されたフレームワークが、ストレスの軌跡、レジリエンスメカニズム、および潜在的な介入戦略を調査する今後の研究にとって、有用な概念的基盤となり得ることを示唆しています。ただし、実用的な実装を確立するには、実際の学生データを用いた検証が必要です。

以上の結果から、提案された非線形フレームワークは、飽和挙動、摂動下での安定性バッファリング、マルチステーブルなエネルギーランドスケープ、および適応的調節によるレジリエンスなど、従来の線形ストレスモデルには欠けていたいくつかの構造的特性を捉えていることが実証されました。テストしたパラメータ範囲全体において、非線形モデルは感情的な活性化を限定的な範囲に維持し、安定したアトラクタ挙動を一貫して示しましたが、一方で線形モデルはパラメータ変動に対して著しく高い感受性を示し、安定余裕が低下していました。これらの特性は、複雑な学術環境におけるストレスと感情のダイナミクスのより現実的な表現を提供します。

補足ファイル 1：MATLABソースコード、支配方程式、数値実装、および再現性ドキュメント本補足ファイルには、論文内で提示されたすべてのシミュレーション、安定性解析、相空間軌道、感度解析、固有値ヒートマップ、およびリアプノフエネルギーランドスケープを再現するために必要な、支配非線形微分方程式、ベースラインモデルパラメータ、初期条件、数値ソルバー設定、収束基準、MATLABソースコード、平衡ソルバー、感度解析手順、可視化ルーチン、ソフトウェア仕様、パラメータ範囲、および計算ワークフローが含まれています。こちらのリンクからファイルをダウンロードしてください。

補足ファイル2：シミュレーションワークフローのドキュメント、心理学的変数のマッピング、および実証的検証フレームワーク。この補足資料には、完全なシミュレーションワークフロー、数学的な状態変数およびモデルパラメータと測定可能な心理学的構成概念とのマッピング、推奨される心理学的評価尺度、パラメータ推定に関するガイダンス、学生データを用いた今後の実証的検証およびキャリブレーションのための提案フレームワーク、ならびに縦断的検証および教育的応用への潜在的な実装戦略が含まれています。こちらをクリックしてファイルをダウンロードしてください。

ディスカッション

ここで提示する計算プロトコルは、数値積分、安定性解析、および感度解析を通じて、ストレスと感情の相互作用をシミュレートするために非線形力学フレームワークをどのように実装できるかを示すものである。この手法を実装する上での重要なステップは、定常状態またはアトラクタ力学への収束を確実にするため、十分な長時間にわたって支配微分方程式を正しく数値積分することである。感度解析により、非線形定式化は従来の線形モデルとは異なるパラメータ変動応答を示すことが明らかになった。具体的には、非線形システムでは結合強度（γ）が感情の平衡に直接影響を与えるが、ストレス散逸率（β）は主に線形定式化において過剰な応答を引き起こす。同様に、外力を増大させると、線形モデルでは無制限の増幅が起こるが、非線形フレームワークでは有界な飽和が生じる。これらの観察結果は、現実的なシステム力学を維持するために、本プロトコルを適用する際、慎重なパラメータ設定を行うことが重要であることを強調している³¹。

このプロトコルは、さまざまな環境条件や行動シナリオをシミュレートするために適応させることが可能です。例えば、予期しない学術的出来事や社会的ストレス要因を表す確率論的な摂動をシミュレーションフレームワークに組み込むことで、ランダムな乱れに対するシステムの堅牢性を検証できます。このような条件下で、非線形システムは制御不能な発散ではなく有界な変動を示すため、ノイズ駆動型の摂動に対するレジリエンスがあることが示されます。さらに、エネルギー景観解析により、システムの安定性に関する幾何学的な洞察が得られます。得られたエネルギー構造は、システムの軌跡がいかにして安定なアトラクタ（引き込み領域）に収束するか、また、複数のポテンシャルの井戸がどのように異なる感情調節状態を表し得るかを示しています。これらの解析ツールは、不安定なシミュレーションの診断や、安定した調節ダイナミクスを維持するパラメータ領域を特定するための有用な指針となります。不安定なシミュレーションの一般的な原因には、結合パラメータが過大であること、調節ゲインが不十分であること、または数値積分設定が不適切であることなどが挙げられます。これらの問題は、多くの場合、パラメータの再校正および数値ソルバーの安定性の検証によって解決できます。

非線形システムの安定特性は、固有値ベースの解析および相空間視覚化技術を通じて検討することも可能です。これらの解析により、ストレスと感情のカップリングと調節ゲインの相互作用が、システム全体の安定性をどのように決定するかが示されます。一般的に、調節強度を高めることで漸近安定性が向上しますが、調節が不十分な場合にカップリングが過剰に強いと、システムが不安定になる可能性があります。相空間表現からは、多様な初期条件から始まる軌跡が共通のアトラクターに向かって収束する傾向があることがさらに明らかになり、非線形フレームワーク内での堅牢な安定性が示されています。ストレス、感情的活性化、および調節能力の協調的な進化は、適応的なフィードバック機構がどのようにシステムを平衡状態へと導くかを示しています³²。

時間領域解析により、過渡的なシステム挙動と平衡形成に関するさらなる知見が得られます。感情的な活性化と蓄積されたストレスは、通常、初期の過渡的な変動を示した後、定常状態の平衡レベルへと緩やかに収束します。適応調節パラメータの感度解析の結果、調節強度の増加は、線形モデルでは感情的な活性化を強力に抑制しますが、非線形定式化では飽和およびフィードバック緩衝メカニズムのため、より緩やかな変化をもたらすことが示されました。同様に、非線形な感情飽和項を導入することで、過剰な増幅が抑制され、感情反応が安定します。以上の結果から、本非線形フレームワークは、従来の線形ストレスモデルでは表現されない調節ダイナミクスと安定化メカニズムを捉えていることが実証されました。従来の線形モデルや相関ベースのストレスモデルと比較して、提案されたフレームワークでは、記述統計的なアプローチでは容易に捉えられない安定性境界、アトラクタ・ダイナミクス、および非線形遷移の解析が可能になります。

今後の研究では、提案されたフレームワークを、トランザクショナル・ストレスモデル、ネットワークベースの心理学的モデル、縦断的潜在成長モデル、および機械学習予測フレームワークを含む既存のアプローチと比較し、ベンチマークを行うべきである。このような比較により、非線形力学モデリングが提供する説明的および予測的な利点について、より厳格な評価が可能となる。手法としての寄与に加え、提案されたフレームワークは教育心理学および高等教育の実践に、より広範な示唆を与える。カウンセリングの観点からは、安定領域、レジリエンスのメカニズム、および不安定閾値を特定することで、学生が長期的な学業上のプレッシャーにどのように反応するのか、また、なぜ一部の個人はストレスから効果的に回復し、他の個人は感情的な困難を悪化させるのかを概念化するのに役立つ可能性がある。本モデルは、レジリエンスが単なる静的な個人の特性ではなく、ストレスへの曝露、感情的反応、および適応的な調節プロセスの間の動的な相互作用から生じることを示唆している³³。

本フレームワークは、将来的な学生支援システムやウェルビーイング・モニタリング計画の理論的基盤を提供することもあり得ます。例えば、安定性の低下に関連するパラメータ領域を特定することで、バーンアウトのリスク上昇に対する早期警告指標の開発を支援できる可能性があり、一方で調節フィードバック機構を分析することで、コーピングスキルや感情の自己調節を強化するための介入策に情報を与えることができます。組織レベルでは、本フレームワークはシステム論的な視点を提供し、学業負荷、評価スケジュール、および支援リソースが、学生のウェルビーイングに集団的にどのように影響するかを評価する際に役立つ可能性があります。提案されたアプローチは、既存のストレスおよび調節に関する心理学理論を置き換えるものではなく、それらを補完することを目的としています。ストレスのトランザクショナル理論、コーピングに基づくフレームワーク、感情調節理論、およびレジリエンスモデルを含む従来のモデルは、認知、行動、および感情の適応プロセスについて価値ある説明を提供しています。非線形力学系のフレームワークは、これらのプロセスが時間とともにどのように相互作用し、安定性、振動挙動、レジリエンス、あるいは不適応な結果への急激な移行を potentially 生成するかという定量的表現を導入することで、これらの視点を拡張します。この統合により、本フレームワークを学生のストレスと心理的適応に関するより広範な文献の中に位置づけるとともに、教育心理学と力学系科学の間の架け橋としての潜在的な価値を明確にすることができます。

シミュレーションに基づいたフレームワークがもたらす、より広範な教育的価値についても検討されるべきである。本研究は非線形なストレス・感情ダイナミクスに焦点を当てているが、その根底にあるモデリング手法は、学生、教育者、および支援専門家がシミュレーション上の学術環境において、異なるストレス調節経路の結果を探索することを可能にし、内省的な学習や適応的な意思決定を支援する可能性がある。このようなシミュレーションにより、本来は抽象的な心理的プロセスをより可視化し理解しやすくすることができ、それによって、コーピング戦略、感情反応、およびレジリエンスの構築に関する自己認識と内省をより一層促進することができる。

この視点は、シミュレーションベースの体験による教育的効果を実証した最近の研究と一致しています。例えば、Shi et al. (2025)³⁴ は、軽度視覚障害者が直面する困難を再現するように設計された公共交通機関のシミュレーション体験が、共感力や省察的思考の育成を促進し、設計上の意思決定を改善させることを示しました。同様の原理は、高等教育におけるストレス調節にも適用できる可能性があります。ストレスの蓄積、感情的な適応、およびレジリエンスのダイナミクスをシミュレーションベースで表現することで、学生が自身の行動反応をより深く理解することを助け、同時に教育者やカウンセラーがより効果的な介入策を設計することを支援できると考えられます。したがって、提案されたフレームワークは、ストレスダイナミクスを調査するための分析ツールとしてだけでなく、学術環境における共感、自己省察、および適応的な意思決定を育む将来の教育シミュレーションの基盤としても機能する可能性があります。

これらの利点がある一方で、提案されたプロトコルにはいくつかの制限があります。本モデルは、ストレス、感情的な活性化、および調節能力を記述する単純化された動力学変数のセットを用いて感情調節を表現しています。現実世界の感情ダイナミクスは、認知的な評価プロセス、社会的相互作用、および個々のコーピング戦略を含む、より広範な要因に依存します。したがって、現在のフレームワークは、個々の心理学的行動に対する予測モデルとしてではなく、主に概念的および計算的なモデリングツールとして解釈されるべきです。それにもかかわらず、このアプローチは、学業ストレスシステムにおけるレジリエンスのダイナミクス、安定条件、および非線形フィードバックメカニズムを探索するための価値ある手法的なプラットフォームを提供します。今後の研究では、予測能力と実世界への適用性を向上させるために、実証的なデータセット、パーソナライズされたパラメータ推定、およびデータ駆動型のキャリブレーション手法を組み込むことで、このフレームワークを拡張できる可能性があります。今後の検証研究では、Perceived Stress Scale (PSS)、Maslach Burnout Inventory–Student Survey (MBI-SS)、Connor–Davidson Resilience Scale (CD-RISC)、および感情的なウェルビーイングの尺度などの検証済み心理学的指標を用いて、学生の縦断的データを収集することで実施可能です。学期を通じて得られた時系列観測データを用いて、モデルパラメータを推定し、予測された軌跡を観測されたストレスおよび感情的な結果と比較することができます。このような検証により、実際の教育現場におけるモデルの精度と予測性能を定量的に評価することが可能になります³⁵。

さらなる制限として、実際の学生データを用いた実証的な検証が不足していることが挙げられます。本研究は理論的および計算的な枠組みの構築に焦点を当てているため、主に数学的解析と数値シミュレーションに依拠しています。シミュレーション研究は、システムの挙動を探索し潜在的なメカニズムを特定する上で価値がありますが、それだけでは、モデル化されたダイナミクスが実際の教育環境におけるストレス調節プロセスを正確に表していることを確認することはできません。さらに、ストレスの蓄積、感情的な活性化、および調節能力などの変数は直接的に観察できず、個人、機関、文化的背景によって異なる可能性があるため、モデルパラメータの推定は大きな課題となります。加えて、現在の枠組みでは一般的な学生集団を想定しており、ストレス調節のダイナミクスに影響を及ぼし得る人口統計学的、文化的、制度的、または専門分野による差異を明示的に考慮していません。今後の研究では、多様な教育的文脈においてモデルの性能を評価する必要があります。

今後の研究における重要な方向性は、提案された非線形ストレス・感情・調節フレームワークを、新興の没入型教育およびメンタルヘルス技術と統合することである。仮想治療景観に関する最近の研究では、注意深く設計された回復体験を通じて、没入型のデジタル環境が大学生の不安を軽減し、感情的なウェルビーイングを向上させ、心理的回復を支援できることが示されている。このような知見は、シミュレーションベースの環境が、ストレス調節の理論的モデルを介入志向のアプリケーションに変換するための実践的なプラットフォームを提供し得ることを示唆している。この文脈において、本フレームワークで特定された安定領域、レジリエンス閾値、適応的回復メカニズム、および確率的反応パターンは、学生のウェルビーイングをモニタリング、シミュレート、および支援することが可能な、心理的に反応的な学習環境の設計に寄与する可能性がある³⁶。

したがって、今後の研究では、提案されたフレームワークの実証的な校正および検証に焦点を当てるべきである。有望なアプローチとしては、知覚されたストレス、感情的なウェルビーイング、コーピングの有効性、レジリエンス、バーンアウト症状、および学業へのエンゲージメントを測定する、検証済みの心理学的尺度を用いて縦断的データを収集することが挙げられる。このようなデータセットを用いることで、モデルパラメータの推定、予測性能の評価、ダイナミカルな挙動における個人差の特定、および提案された安定性とレジリエンスのメカニズムが、観察された学生のアウトカムとどの程度一致しているかを評価することが可能となる。さらに、今後の研究では、本フレームワークを既存の心理学的、統計的、および機械学習ベースのアプローチと比較し、相対的な説明能および予測能を決定することも考えられる。これらの進展は、現在の理論的フレームワークを、高等教育における学生のウェルビーイングを理解し支援するための、実証的に検証されたツールへと変換するための重要なステップとなるであろう³⁷。

材料

この記事で使用された材料の一覧

名前	会社	カタログ番号	コメント
常微分方程式ソルバー (ODE45)	MathWorks	MATLAB R2024a	結合非線形微分方程式の積分に使用した数値ソルバー。相対許容誤差 = 1×10-6; 絶対許容誤差 = 1×10-8。
MATLAB ソフトウェア	MathWorks, Natick, MA, USA	RRID: SCR_001622	モデルの実装、安定性解析、感度解析、相空間の可視化、リアプノフ・エネルギーランドスケープの生成、および図の作成に使用した主要な数値計算ソフトウェア。
手法ドキュメントパッケージ	補足ファイル S2	N/A	理論的枠組みのドキュメント、パラメータの解釈、検証戦略、限界、および計算ワークフローの説明を含む。
数値配列処理ライブラリ (NumPy)	NumPy Developers	NumPy 2.0	Python実装における行列演算、数値計算、パラメータスイープ、およびデータ処理に使用したライブラリ。
数値シミュレーション環境	MATLAB R2024a 環境	N/A	非線形ストレス–感情–調節フレームワーク、パラメータスイープ、平衡分析、およびストカスティックシミュレーションを実行するために使用した計算環境。
最適化ツールボックス	MathWorks	MATLAB Optimization Toolbox	非線形根探索法 (fsolve) による平衡状態の計算に使用。
Python プログラミング環境	Python Software Foundation	Python 3.12	数値結果の検証、および選択したシミュレーションと可視化を再現するために使用した代替計算プラットフォーム。
科学計算ライブラリ (SciPy)	SciPy Community	SciPy 1.14	Python実装における数値計算、非線形方程式の解法、および微分方程式の解析に使用したライブラリ。
ソースコードパッケージ	補足ファイル S1	N/A	完全な再現性に必要な MATLAB スクリプト、ソルバー設定、パラメータファイル、感度解析ルーチン、安定性解析コード、および可視化ワークフローを含む。
表計算ソフトウェア	Microsoft Corporation	Microsoft Excel 365	シミュレーション出力および補足データセットの保存、整理、エクスポート、および確認に使用。
可視化ツール (Matplotlib)	Matplotlib Development Team	Matplotlib 3.9	感度プロット、安定性ダイアグラム、相空間軌道、ヒートマップ、および出版品質の図の作成に使用した科学プロットライブラリ。