複数の方向のベクトル
ソース: ニコラス ・ ティモンズ、Asantha Cooray、PhD、物理学科 & 天文学、物理的な科学の学校、カリフォルニア大学、アーバイン、カリフォルニア州
この実験は、ベクトルを追加し、複数の方向を減算する方法を示しています。加算または減算の複数のベクトルの解析的計算する目標になり、実験、…
1. バランスを強制します。
- 力表正反対の方向 (180 ° の角度の相違) に直面している同じ質量を持つ 2 つのプーリーを設定します。
- それぞれの力に等しくなります
。移動しないでください力の表の中央にリングを調べることによって、2 つの力が等しく、反対かどうかを確認します。 - これらの力に関連付けられているベクトルのコンポーネントを追加する場合、結果として生じるベクトルがゼロの大きさを持っている注意してください。これは、すべての力は、平衡を決定する方法です。
2. 分析の計算。
- この演習は、平衡の 3 つの力で構成されます。2 つの力を知られるが、3 番目が見つけた最初解析的ベクトル理論を用いたし、実験。この実習では、維持
期間の 0 °。 - されている場合と
が知られていると
均衡でその後は強制的に 2 つの原因、システムに追加されたとき、の合計に反対の方向では、大きさが等しくの ( + )。 - 大きさを計算する、 。実際に使用するの単位である 1 ニュートン (N) と等しい力の
。 - どのような大きさの計算、ベクトルの理論を用いた合計だったかどうかになる ( + )。
- どのような角度の計算、ベクトルの理論を用いた合計だったかどうかになる ( + )。
3. 実験。
- テーブル 1の最初の行に次の値と、力のテーブルに 2 つの力を設定。維持してください0 °。
- 第三勢力を設定、重みを加えると平衡に達するまで角度を変えることによって。表 2にこれらの値を記録します。
- それぞれの 4 つの場合 3.2 の手順を繰り返します。
- 計算による解析結果からの差の割合を決定、
。これらの計算値を表 2を完了します。
ベクトルは、大きさと符号のみを持つスカラーとは異なり、大きさと方向の両方を持つ量です。
力、加速度、速度はベクトルの例です。質量、エネルギー、時間はスカラーの例です。
ベクトルは通常、矢印で表されます。矢印の長さはその大きさに対応し、角度は方向を示します。
このビデオでは、ベクトルの加算と減算で解析できる力のシステムを示し、そのような操作がいくつかの物理現象を理解するために重要な結果をどのように生み出すかを示します。
ベクトルを記述するには、座標系が必要です。この選択された基準座標系内で、空中に蹴られたボールの例には初速度ベクトルがあります。前に説明したように、矢印の長さは速度の大きさを表します。そして、ベクトルの方向は地面からの角度です。
任意のベクトルは、x 軸と y 軸に沿ったベクトル自体であるコンポーネントに分解できます。ボールの初速度が 60 度で秒速 20 メートルの場合、水平成分は速度に余弦を掛けた 60 度で、マグニチュードは秒速 10 メートルです。垂直成分は、速度に60度の正弦を掛けたもので、マグニチュードは毎秒約17.3メートルです。
水平成分と垂直成分のベクトル加算により、元の速度ベクトルが再構築されます。ベクトルを追加するには、一方の頭をもう一方の尾に配置することを想像してください。この例では、ベクトルはたまたま直角にあります。この合計は、最初のテールから 2 番目のテールに直接移動するときに得られます。
これらの成分は直角にあるため、合計の大きさはピタゴラスの定理によって与えられます。角度は、垂直成分を水平成分で割った円弧接線です。
垂直でない 2 つのベクトルを追加する場合は、それぞれを x 成分と y 成分に分解してから、対応する成分を追加します。最後に、前に説明したように、水平成分と垂直成分のベクトル和を計算します。1 つのベクトルを別のベクトルから減算することは、2 番目のベクトルを否定して最初のベクトルに加算することと同じです。前と同様に、各ベクトルを x 成分と y 成分に分解します。次に、大きい方のx成分から小さい方のx成分を減算し、y成分についても同じことを行います。次に、前と同じように、結果の x 成分と y 成分のベクトル和を計算します。
物理学の実験室でベクトルの加算と減算を実証するために、一般的に使用される機器は力の表です。これは、周囲に角度がマークされたディスクで、中央のリングは、プーリーによって吊り下げられたもう一方の端に質量を持つコードに取り付けられています。質量は力を生み出し、それが研究されるべきベクトルです。各コードに沿った力は、ニュートンの単位で重力(mg)に等しくなります。
さて、この設定では、互いに180度に等しい質量が2つだけある場合、それらはベクトルの合計がゼロの力を生成します。この状態は平衡と呼ばれ、加速度がゼロになり、リングは動きません。
しかし、リングを引っ張る2つの力が互いに打ち消し合わない場合(角度の変化など)、ゼロ以外の正味の力によってリングが動きます。このような場合、これらの力の大きさと方向がわかっていれば、ベクトルの加算と減算を使用して、平衡を再確立するために必要な3番目の力を計算できます。
次のセクションでは、ベクトルの加算と減算の理論原理をテストする力表の実験を行う方法を示します
2つの力が等しく反対の場合、テーブルの中央にあるリングは移動しません。この場合、各力ベクトルは、大きさと方向が互いに正確に反対します。ベクトルの合計の大きさはゼロであり、これは正味の力がゼロ、つまり平衡の状態です。
ベクトルの加算と減算の原理を検証するには、この表の最初の行に示されているように、力AとBの質量と角度を設定します。A の角度は 0 度に保ちます。次に、質量を追加し、リングが動かなくなるまで角度を変更して、3番目の力を設定します。
平衡状態になったら、Cの質量に重力による加速度を掛けて、Cの力を計算します。また、力 C の大きさと角度を記録します。
このテストを 3 つの異なるケースで繰り返し、力 C の大きさと角度を毎回記録します。
この表は、4つの実験設定について、計算された力AとBの大きさ、およびAに対するBの角度を示しています。最初の設定を例にとると、テーブル上で平衡を確立するために必要な力Cを計算できます。
ここで、力 A の大きさは 0?で 0.98 ニュートンです。力Bの同じ大きさは0.98ニュートンですが、角度は20?です。C のベクトルを決定するには、力 A と B をそれぞれの x 成分と y 成分に分解します。注: 力 A は X 軸に沿ってのみ方向付けられ、y 成分はありません。次に、成分を追加して、A ベクトルと B ベクトルの合計である x ベクトルと y ベクトルを生成します。
平衡状態を達成するためには、C の x 成分と y 成分がこれらのベクトルの反対でなければなりません。ベクトル C を取得するには、その y 成分のテールを x 成分の先頭に移動します。次に、ピタゴラスの定理を使用して 2 つのベクトルを加算し、ベクトル C の大きさを求めます。また、C の角度は、垂直成分を水平成分で割ったアークタンジェントです。したがって、計算されたCの大きさは、角度10で1.93ニュートンであることがわかりますか?X軸に対して。
さて、実験では、力の表のリングが動かないように重みや角度を調整しながら、観察と試行錯誤によってCを計算しています。
また、この表は、マグニチュードと角度の両方の実験結果と計算結果が、4つのセットアップすべてで密接に一致することを示しています。この合意は、ベクトルとしての力の表現を検証します。この違いは、ウェイトの精度、角度の測定精度、およびフォーステーブルとプーリーの摩擦によって引き起こされる考慮されていない力の制限に起因する可能性があります。
ベクトルの加算と減算は、単純なアプリケーションと複雑なアプリケーションの両方で使用されます。それらのいくつかを見てみましょう。
ニューヨークのような都市をツアーする場合、距離は通常ブロック単位で測定され、方向は東南北です。
東に 4 ブロック、北に 3 ブロック歩く人は、ベクトル量である位置の変化を受けます。したがって、ベクトル加算の方程式を適用することにより、歩行の開始点と終了点の間のベクトルの大きさと方向を計算できます。
歩くことから飛行するまで、パイロットは飛行機を操縦するために、常にメンタルベクトルの足し算と引き算を行っています。主翼のフラップとエルロンを使用することで、パイロットは重力に逆らって揚力を調整することができます。揚力が重力よりも大きい場合、平面は上昇します。揚力が重力よりも小さい場合、揚力は下降します。
同様に、パイロットはエンジンを使用して抗力に対する推力を調整します。推力が抗力よりも大きい場合、飛行機は加速します。推力が抗力よりも小さい場合、推力は減速します。
これら 4 つの力の合計が 0 になると、飛行機は平衡状態にあり、一定の速度と高度で巡航します。
JoVEのベクトルの紹介を見ました。これで、ベクトルの加算と減算の方法、および特定の物理量がベクトルとしてどのように振る舞うかを理解したはずです。ご覧いただきありがとうございます!
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Q1: What is the difference between vectors and scalars?
Vectors have both magnitude and direction, while scalars have only magnitude and sign. Force, acceleration, and velocity are vectors. Mass, energy, and time are scalars. Vectors are typically represented by arrows where length indicates magnitude and angle indicates direction within a chosen coordinate system.
Q2: How do you decompose a vector into components?
Any vector can be decomposed into x- and y-component vectors along perpendicular axes. For a vector at angle θ with magnitude M, the horizontal component equals M times cosine of θ, and the vertical component equals M times sine of θ. These components can be recombined using vector addition to reconstruct the original vector.
Q3: What is the process for adding two non-perpendicular vectors?
Decompose each vector into x- and y-components, then add corresponding components separately. Calculate the resultant x- and y-components, then combine them using the Pythagorean theorem to find magnitude. Use arctangent of the vertical component divided by the horizontal component to find the angle of the resultant vector.
Q4: How does vector subtraction work in physics?
Subtracting one vector from another is equivalent to negating the second vector and adding it to the first. Decompose each vector into x- and y-components, subtract corresponding components, then calculate the vector sum of the resulting components using the Pythagorean theorem and arctangent to find magnitude and direction.
Q5: What is equilibrium and how does it relate to vector addition?
Equilibrium occurs when the net force on an object is zero, resulting in zero acceleration. On a force table, when two equal forces act at 180 degrees from each other, their vector sum is zero and the ring remains stationary. If forces do not cancel, vector addition determines the third force needed to restore equilibrium and establish rotational equilibrium.
Q6: How is a force table used to experimentally validate vector addition?
A force table is a disk with angle markings and a central ring attached to cords with suspended masses. Masses produce forces measured in Newtons. By adjusting masses and angles for two forces, students calculate the third force needed to prevent ring motion. Comparing calculated results using vector addition with experimental observations validates the vector principles.
Q7: What are real-world applications of vector addition and subtraction?
Pilots use vector addition and subtraction to maneuver aircraft by adjusting lift against gravity and thrust against drag. When the sum of these four forces equals zero, the plane maintains constant speed and altitude. Navigation also uses vectors: a person walking four blocks east and three blocks north can calculate their displacement vector using vector addition equations.