Name: modeling voltage and current on transmission lines
Uploaded: 2024-11-21T14:54:26.000Z
Duration: 1 min 26 s
Channel: JoVE

라인 섹션을 나타내는 회로를 고려하십시오.
전압과 전류는 수신단에서 측정되며, 단위 길이당 정의된 직렬 임피던스 및 션트 어드미턴스를 사용합니다.
Kirchhoff의 법칙을 사용하고 델타 x가 0에 접근하는 한계를 취하면 두 개의 선형 미분 방정식이 파생됩니다. 전압을 미분하고 전류 방정식에 대입하면 2차 균질 방정식이 생성됩니다.
이 솔루션에는 두 개의 통합 상수와 전파 상수가 포함됩니다. 이를 전압 방정식에 대입하고 분모를 재배열하면 특성 임피던스를 가진 전류 표현이 생성됩니다.
경계 조건에서 적분 상수를 평가하고 쌍곡선 함수를 식별한 후 분포된 선의 ABCD 매개변수를 얻습니다. 이는 수신단 값에 상대적인 모든 지점에서 전류와 전압을 제공합니다.
ABCD 매개변수는 송신단에서도 평가됩니다. 복소수인 전파 상수는 길이를 곱할 때 차원이 없으며 쌍곡선 함수를 결정하는 데 도움이 됩니다.
이러한 매개변수는 모든 선 길이에 적용됩니다. 근사치는 짧은 길이 및 중간 길이의 선과 관련된 수동 계산에 사용할 수 있습니다.

전송선 미분 방정식

송전선은 전력 시스템의 필수 구성 요소입니다. 단위 길이당 저항(R), 인덕턴스(L), 커패시턴스(C)의 분포된 특성이 특징입니다. 이러한 선을 분석하기 위해 미분 방정식을 사용하여 선을 따라 전압과 전류의 변화를 모델링합니다.

라인 섹션 모델

길이가 Δ_x인 회선 구간을 나타내는 회로는 전송선 매개변수를 이해하는 데 도움이 됩니다. 전압 V(x)와 전류 i(x)는 수신단에서 측정됩니다. 회선은 단위 길이당 직렬 임피던스 z=R+jωL과 단위 길이당 션트 어드미턴스 y=G+jωC를 갖습니다. 이 설정에 키르히호프의 전압 법칙(KVL)과 키르히호프의 전류 법칙(KCL)을 적용하여 회선을 따라 전압 및 전류 변화에 대한 관계를 도출합니다.

Δ_x가 0에 가까워짐에 따라 이러한 관계는 선형, 1차, 동차 미분 방정식으로 변환됩니다.

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%201.svg" style="height: 30px;">

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%202.svg" style="height: 30px;">

이러한 미분 방정식은 전압과 전류가 전송선의 길이에 따라 어떻게 변하는지 설명합니다.

이러한 미분 방정식을 풀려면 전파 상수 γ를 결정해야 하는데, 이는 직렬 임피던스와 션트 어드미턴스의 효과를 모두 포괄합니다. 라인을 따라 전압과 전류에 대한 일반적인 솔루션에는 수신단에서 경계 조건을 사용하여 평가된 두 개의 적분 상수가 포함됩니다.

특성 임피던스 Z_c는 전송선의 고유 임피던스를 반영하는 핵심 매개변수입니다. 미분 방정식의 해를 사용하여 전압과 전류는 쌍곡선 함수인 cosh(코사인 쌍곡선) 및 sinh(사인 쌍곡선)를 사용하여 선을 따라 표현되며, 이는 전압 및 전류 분포를 모델링하는 데 사용되는 수학 함수입니다.

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%203.svg" style="height: 14px;">

<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%204.svg" style="height: 32px;">

ABCD 매개변수

ABCD 매개변수 또는 전송선 상수는 이러한 쌍곡선 함수에서 파생됩니다. 이러한 매개변수는 선을 따라 임의의 지점의 전압과 전류를 수신단의 값과 연관시키는 행렬 표현을 제공합니다. ABCD 매개변수는 신호가 전송선을 통해 전파되는 방식을 이해하는 데 중요합니다.

<img alt="Equation5" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%205.svg" style="height: 32px;">

전파상수

전파 상수 γ는 실수부와 허수부가 각각 감쇠와 위상 이동을 나타내는 복소수입니다. 이 상수를 선 길이로 곱하면 무차원이 되며 전압과 전류 분포를 설명하는 쌍곡선 함수를 평가하는 데 필수적입니다.

정확한 ABCD 매개변수는 모든 라인 길이에 유효하며 전송선 동작에 대한 정확한 솔루션을 제공합니다. 짧은 길이와 중간 길이의 라인과 관련된 실용적인 수동 계산의 경우 근사값을 사용할 수 있습니다. 이러한 매개변수는 다양한 작동 조건에서 전송선을 종합적으로 분석하여 효율적이고 안정적인 전력 전송을 보장합니다.

라인 섹션을 나타내는 회로를 고려하십시오.
전압과 전류는 정의된 직렬 임피던스와 션트를 사용하여 수신단에서 측정됩니다.

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제1단원

Steady-State Transmission Lines and Power Flows

정상 상태 송전선로 및 전력 조류

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KEY TERMS AND CONCEPTS

주요 용어 및 개념

Transmission-Line Differential Equations

modeling voltage and current on transmission lines

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation.

A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end. The line also includes a series impedance, z = R + jωL, and a shunt admittance, y = G + jωC, per unit length.

Kirchhoff’s Voltage Law and Kirchhoff’s Current Law are applied to the small line section. As Δx becomes very small, the results turn into linear, first-order, homogeneous differential equations. These equations describe how voltage and current change along the transmission line.

Solving the equations gives the propagation constant, γ. This complex value combines the effects of series impedance and shunt admittance. Its real part shows attenuation, and its imaginary part shows phase shift. The product of γ and the line length is dimensionless and is used in the hyperbolic functions that describe the line behavior.

The general solutions for voltage and current include two integration constants. These constants are found from boundary conditions at the receiving end. The solutions also define the characteristic impedance, Zc, which reflects the intrinsic impedance of the transmission line. Voltage and current can then be written with cosh and sinh functions.

From these hyperbolic expressions, the ABCD parameters, also called transmission line constants, are obtained. They give a matrix form that relates the voltage and current at any point on the line to the values at the receiving end. The exact ABCD parameters work for any line length, while short- and medium-length lines may use approximations for hand calculations.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

modeling-voltage-and-current-on-transmission-lines

transmission-line differential equations

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation. A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end.

lossless lines

Lossless Lines and Voltage Behavior

Lossless transmission lines in electrical engineering are described by a purely imaginary propagation constant and a resistive characteristic impedance. Their ABCD parameters show an equivalent pi circuit with an imaginary series impedance and a shunt admittance. When the product of beta and line length is less than pi, the line has inductive series impedance and capacitive shunt admittance, which keeps it lossless. Wavelength is the physical length over which voltage or current phase changes...

maximum power flow and line loadability

Transmission Line Power Limits and Loadability

Transmission line power limits and loadability depend on voltage, angle, and line impedance. For lossy transmission lines, ABCD parameters in phasor form are used to relate sending-end and receiving-end voltages and currents. This matrix relation makes it possible to find the receiving-end current and then calculate the complex power delivered to the load. From the complex power, the real and reactive power components can be determined. For a lossless line, the equations become simpler, and...

the power flow problem and solution

Power Flow Analysis in Electric Networks

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control of power flow

Voltage and Reactive Power Control

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key terms and concepts

See how distributed R, L, and C lead to transmission-line differential equations, propagation constant γ, characteristic impedance Zc, and ABCD parameters.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

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