15.5: 스프링-질량 시스템의 빈도

용수철에 부착된 물체의 단순 조화 운동(SHM)의 흥미로운 특징 중 하나는 각진동수, 운동의 주기 및 주파수가 용수철의 질량과 힘 상수에만 의존한다는 것입니다. 모션의 진폭이나 초기 조건과 같은 다른 요인에 영향을 받지 않습니다. 운동 방정식과 뉴턴의 제2법칙을 사용하여 각주파수, 진동수 및 주기를 찾을 수 있습니다.

마찰이 없는 표면의 스프링 블록을 생각해 보세요. 질량에는 세 가지 힘, 즉 무게, 수직 힘, 스프링으로 인한 힘이 있습니다. 표면에 수직으로 작용하는 유일한 두 가지 힘은 무게와 수직력이며 크기는 같고 방향은 반대입니다. 결과적으로 그 합은 0입니다. 표면에 평행하게 작용하는 유일한 힘은 스프링으로 인한 힘이므로 총 힘은 스프링의 힘과 같아야 합니다.

훅의 법칙에 따르면 힘과 변형이 충분히 작은 한 스프링 힘의 크기는 변위의 첫 번째 거듭제곱에 비례합니다. 이 때문에 스프링-질량 시스템을 선형 단순 조화 발진기라고 부릅니다.

뉴턴 제2법칙의 가속도와 변위 식을 대입하면 각주파수 방정식을 얻을 수 있습니다.

각진동수는 진폭이 아닌 힘 상수와 질량에만 의존합니다. 이는 또한 주어진 관계를 사용하여 진동 주기와 관련됩니다:

또한 주기는 질량과 힘 상수에만 의존합니다. 질량이 클수록 주기가 길어집니다. 스프링이 단단할수록 기간은 짧아집니다. 빈도는

마찰이 없는 표면 위에 배치된 수평 스프링에 연결된 질량 m 블록을 생각해 보십시오.

블록에 가해지는 알짜 힘은 무게로 인한 힘, 수직력, 스프링으로 인한 힘의 합입니다.

무게와 수직력은 크기가 같고 방향이 반대이기 때문에 서로 상쇄되고 알짜 힘은 스프링으로 인한 힘과 같아집니다.

여기서 힘의 크기는 첫 번째 변위의 힘에 비례합니다. 이 때문에 스프링-질량 시스템을 선형 단순 고조파 발진기라고 합니다.

뉴턴의 제2법칙을 사용하면 힘은 가속도로 표현할 수 있습니다.

Acceleration(가속도)과 Displacement(변위)에 대한 표현식을 대체하면 angular frequency(각주파수)에 대한 방정식이 얻어집니다.

각 주파수는 또한 진동 기간 동안 2π로 정의됩니다.

또한 주기의 역수는 진동의 빈도입니다.

뻣뻣한 스프링은 빠른 진동과 짧은 주기를 생성합니다. 이에 비해 무거운 물체는 느린 진동과 긴 주기를 생성하는 경향이 있습니다.