16.5
퍼시벌 정리
Parseval의 정리에 따르면 함수가 주기적인 경우 한 주기에 대한 신호의 평균 전력은 모든 복소 푸리에 계수의 제곱 크기의 합과 같습니다.
Parseval의 정리를 검증하기 위해 함수가 표준 형식의 복소수 푸리에 급수를 갖는다고 가정합니다. 이것을 대입하고 더 풀면 정리의 증명이 제공됩니다.
흥미롭게도 Parseval의 정리는 삼각법 푸리에 급수의 푸리에 계수로도 표현될 수 있습니다.
오디오 처리에서 Parseval의 정리는 원래 음파의 에너지를 압축 버전과 비교하는 데 사용됩니다.
이 정리에 대한 공학적 해석은 실용적인 통찰력을 제공합니다. 함수가 전류 또는 전압과 같은 전기 신호를 나타내는 경우 함수의 제곱은 1옴 저항기의 순간 전력을 나타냅니다.
이 정리는 또한 한 기간 동안 저항기에서 소산되는 에너지를 푸리에 급수와 관련시켜 삼각법 푸리에 급수와 진폭 위상 푸리에 급수 측면에서 두 가지 다른 표현을 제공합니다.
퍼시벌 정리는 신호 처리 및 조화 해석의 기본 개념입니다. 이 정리는 주기 함수의 경우 한 주기 동안 신호의 평균 전력이 모든 복소 푸리에 계수의 제곱 크기의 합과 같다고 주장합니다. Marc-Antoine Parseval의 이름을 딴 이 정리는 신호의 에너지 분포를 분석하는 강력한 도구를 제공합니다.
흥미롭게도, 파르스발 정리는 사인 및 코사인 함수로 함수를 표현하는 푸리에 급수의 삼각 형태에도 적용됩니다. 여기서 푸리에 계수는 삼각 급수 계수와 관련될 수 있으므로 이 대체 형태에 정리를 적용할 수 있습니다.
퍼시벌 정리를 검증하기 위해 복소 푸리에 급수 표현을 갖는 함수 x(t)를 살펴보겠습니다.
여기서 c_n는 복소 푸리에 계수이고 ω_0는 기본 각주파수입니다. 정리는 다음과 같습니다.
여기서 T는 함수의 주기입니다. 푸리에 급수를 좌변에 대입하여 풀면 등식이 확인되어 정리가 증명됩니다.
퍼시벌 정리는 실제 응용에서, 특히 오디오 처리에 매우 중요합니다. 원래 음파에 포함된 에너지를 압축된 버전의 에너지와 비교할 수 있습니다. 이 비교는 압축 프로세스가 너무 많은 에너지를 손실하여 오디오 신호의 품질을 크게 저하시키지 않도록 하는 데 필수적입니다.
공학적 관점에서, 퍼시벌 정리는 유용한 통찰을 선사합니다. 예를 들어, 문제의 함수가 전류나 전압과 같은 전기 신호를 나타내는 경우, 이 함수의 제곱은 1옴 저항에서 소모되는 순간 전력을 나타냅니다. 결과적으로, 이 정리는 한 주기 동안 저항에서 소모되는 에너지를 신호의 푸리에 급수 표현과 연결시킵니다. 이 관계는 두 가지 다른 형태로 표현됩니다. 하나는 삼각 푸리에 급수를 사용하고 다른 하나는 푸리에 급수의 진폭-위상 형태를 사용합니다. 따라서 퍼시벌 정리는 강력한 분석 도구 역할을 할 뿐만 아니라 이론적 개념과 실제 공학적 응용을 연결하는 역할을 합니다.
Parseval의 정리에 따르면 함수가 주기적인 경우 한 주기에 대한 신호의 평균 전력은 모든 복소 푸리에 계수의 제곱 크기의 합과 같습니다.
Parseval의 정리를 검증하기 위해 함수가 표준 형식의 복소수 푸리에 급수를 갖는다고 가정합니다. 이것을 대입하고 더 풀면 정리의 증명이 제공됩니다.
흥미롭게도 Parseval의 정리는 삼각법 푸리에 급수의 푸리에 계수로도 표현될 수 있습니다.
오디오 처리에서 Parseval의 정리는 원래 음파의 에너지를 압축 버전과 비교하는 데 사용됩니다.
이 정리에 대한 공학적 해석은 실용적인 통찰력을 제공합니다. 함수가 전류 또는 전압과 같은 전기 신호를 나타내는 경우 함수의 제곱은 1옴 저항기의 순간 전력을 나타냅니다.
이 정리는 또한 한 기간 동안 저항기에서 소산되는 에너지를 푸리에 급수와 관련시켜 삼각법 푸리에 급수와 진폭 위상 푸리에 급수 측면에서 두 가지 다른 표현을 제공합니다.
From Chapter 16:
