푸리에 급수의 수렴

신호의 푸리에 급수는 복소 지수의 무한 합입니다. 무한 합계는 종종 실용적으로 만들기 위해 유한 부분 합계로 잘립니다.

부분합에서 항을 늘리면 근사값이 신호에 수렴해야 합니다. 그러나 불연속성 근처에서는 지속적인 파동이 발생하여 불연속성을 향해 압축되는데, 이를 깁스 현상(Gibbs phenomenon)이라고 합니다.

Gibbs는 절단된 푸리에 급수 근사에서 불연속성 근처에서 이러한 고주파 리플과 오버슈트를 관찰했습니다.

이를 완화하려면 리플의 총 에너지가 무시할 수 있도록 많은 수의 항을 선택하십시오.

리플에도 불구하고 근사 오차의 에너지는 항이 많을수록 감소하여 푸리에 급수가 불연속 신호를 나타낼 수 있습니다.

푸리에 급수를 원하는 항 수로 자르면 최상의 근사치를 얻을 수 있어 오차를 최소화할 수 있습니다. 오류는 항이 많을수록 줄어들고 신호가 푸리에 급수로 표현될 수 있는 경우 결국 0이 됩니다.

예를 들어, 이미지 처리에서 시각적 아티팩트를 피하기 위해 잘린 푸리에 급수를 사용하여 이미지 신호를 근사화할 때 오류를 줄이는 것이 중요합니다.