몫의 미분법

물탱크는 동시에 채우고 배수되는데, 유입과 유출량이 불균형하여 수위가 변합니다. 목표는 탱크가 얼마나 오래 배수되는지 알아보는 것입니다. 이는 수량과 배수량의 비율로 표현되며, 두 비율 모두 시간에 따라 미분 가능한 함수이기 때문에 시간에 따라 변합니다.

물이 탱크에 들어오면 총 부피가 약간 증가하고, 시스템 조정에 따라 배수 속도도 변합니다. 이러한 작은 변화들이 전체 유적에 대한 배수 비율에 영향을 미칩니다.

몫의 변화율을 구하려면, 짧은 시간 구간 동안 몫의 변화를 고려한 후 이 변화를 그 구간으로 나누어 봅시다.

시간 구간이 0에 가까워질수록 극한을 도입하면, R이 시간에 따라 연속적으로 변하기 때문에 델타 R도 0에 가까워져 분모가 단순화됩니다. 도함수의 정의를 사용하여 몫 규칙을 도출합니다.

이는 배수율에 부피의 미분을 곱한 값, 부피에 배수율의 미분을 곱한 값, 그리고 모두 배수율의 제곱으로 나눈 값입니다.

이 마지막 식은 수용량과 배수량의 비율이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 보여줍니다. 일반적으로 이 표현은 두 임의 함수의 비율이 시간에 따라 어떻게 변하는지도 연관시킵니다.