정적분

닫힌 구간 위의 함수를 생각해 봅시다. 곡선 아래 면적을 근사하기 위해 구간을 같은 부분 구간으로 나누어 같은 너비의 직사각형을 만듭니다.

하위 구간 내에서 임의의 점을 선택하고 그 함수 값을 사각형의 높이로 사용합니다. 높이에 너비를 곱하면 그 직사각형의 면적이 됩니다. 곡선 아래의 총 면적은 모든 직사각형의 면적을 합하여 근사하며, 이를 리만 합이라고 합니다.

주어진 구간에서의 함수의 정적분은 부분구간 수가 무한대에 가까워지고 각 직사각형의 폭이 무한히 작아질 때 리만 합의 극한으로 정의된다. 이 극한이 존재한다면 말이다.

예를 들어, 속도가 변하는 자동차를 생각해 봅시다. 총 이동 시간을 같은 시간 간격으로 나누세요.

각 구간에서 임의의 시간 지점을 선택하고 해당 속도를 취합니다. 속도를 구간 너비로 곱해서 이동한 거리를 추정합니다.

이 합들은 리만 합을 이루며, 이 예시에서 곡선 아래 면적은 자동차가 이동한 거리로 물리적으로 해석됩니다. 속도가 양수로 유지될 때, 전체 거리는 한계 내에서 속도 함수를 적분하여 구합니다.