부정적분에 적용한 치환법칙

선형 스프링에 힘을 가하면 복원력은 변위에 따라 고르게 증가합니다. 이 관계는 힘-변위 곡선에서 수행된 일의 계산을 가능하게 하는 후크의 법칙을 따릅니다.

비선형 스프링의 경우, 후크의 법칙은 적용되지 않습니다. 복원력은 위치에 따라 변하므로, 힘-변위 그래프는 곡선이 됩니다.

스프링을 늘릴 때 이루어지는 총 일은 이 힘을 변위에 대해 적분하여 결정됩니다.

그러나 적분은 제곱근 항이 표준 적분 과정을 복잡하게 만들기 때문에 직접적으로 푸는 것은 어렵습니다.

적분을 단순화하기 위해 치환 규칙을 사용합니다. 복소수 항에 새로운 변수를 도입합니다. 변수를 미분하고 미분을 재배열하면 적분 내 다른 항들을 대체할 수 있습니다.

치환을 적용하면 제곱근 내의 항이 더 단순한 표현식으로 변환되어 적분이 단일 멱함수로 변환됩니다.

적분 후에는 새로운 변수를 원래의 변위 변수로 대체하여 물리적 해석을 유지합니다.

최종 식은 비선형 스프링을 늘리는 데 필요한 작업을 나타냅니다.