단면적을 이용한 부피 구하기

단면적이 알려진 고체의 경우, 부피는 단면에 수직인 축을 따라 이 면적들을 적분하여 구합니다.

높이가 h 이고 변이 a인 정삼각형의 밑면을 생각해 봅시다.

원점은 상단 꼭짓점에 위치하며, y축은 높이를 따라 뻗어 있습니다.

이 축에 수직으로 취한 단면은 꼭짓점에서 밑으로 갈수록 크기가 점점 커지는 더 작은 정삼각형을 형성합니다.

한 밑면이 x축에 평행할 때, 높이 y에 있는 각 작은 정삼각형의 변 길이는 유사한 삼각형을 사용해 구합니다. 이 계산은 y에 h에 a를 곱하는 방식으로 스케일링됩니다.

각 정삼각형의 면적은 근 3에 그 삼각형의 변의 제곱 곱하기 4와 같습니다. 이 영역들은 높이를 따라 단면이 변하는 모습을 보여줍니다.

사면체의 부피는 꼭짓점에서 밑면까지 이 영역들을 적분하여 구합니다. 결과는 밑면의 높이와 제곱의 곱에 비례합니다.

측량사들은 변화하는 단면을 측정하고 이를 적분하여 정확한 자재 추정을 위해 이 방법을 사용하여 불규칙한 자갈 더미의 부피를 구합니다.