이상적분: 무한 구간

적분은 적분의 상한이나 하한이 무한대로 확장되어 곡선 아래에 무한한 영역이 생기면서 적분이 부적절하다고 간주됩니다.

이 경우 무한 한계는 변수로 대체되고, 적분은 그 변수가 무한대에 가까워질 때 극한을 취하여 평가합니다.

이 방법은 곡선 아래 전체 면적이 무한 영역 전체에 걸쳐 유한하게 유지되는지 확인하는 데 도움을 줍니다.

실용적인 예로는 매질이 균일하다고 가정할 때, 안개와 같은 매질을 무한 거리에서 통과하는 빛의 총 적집 강도를 계산하는 것이 있습니다.

이러한 경우, 빛의 세기는 거리가 갈수록 감소하여 지수적 감쇠 패턴을 따릅니다.

전체 적분 강도를 구하기 위해 무한 상한을 먼저 변수 t로 대체합니다.

그 후 강도 함수를 0에서 t까지 적분하고, 적분 한계를 대입하여 지수 항을 포함하는 식을 만든다.

마지막 단계는 t 가 무한대에 가까워질 때 극한을 취하는 것으로, 지수 항이 0에 가까워져 유한한 값이 남습니다.

이는 전체 적분 강도 — 곡선 아래 면적—이 무한 영역에도 유한함을 유지할 수 있음을 확인시켜 줍니다.