Zwaartekracht tussen bolvormige lichamen

De zwaartekrachtwet van Newton beschrijft de zwaartekracht tussen twee willekeurige puntmassa's. Voor uitgebreide bolvormige objecten zoals de Aarde, de maan en andere planeten gaat de wet echter uit van de aanname dat massa's bolvormige objecten geconcentreerd zijn in hun respectievelijke middelpunten.

Deze aanname kan eenvoudig worden bewezen door aan te tonen dat de uitdrukking voor potentiële zwaartekrachtenergie tussen een holle bol met massa (M) en een puntmassa (m) dezelfde is als voor een paar uitgestrekte bolvormige vaste objecten.

Denk aan een kleine ring met een breedte van Rdϕ  en massa dM op het oppervlak van een bolvormige holle bol op een afstand s van de puntmassa, zoals weergegeven in Figuur 1(a).

De potentiële zwaartekrachtenergie tussen de ring en de puntmassa (m) wordt uitgedrukt als:

De verhouding tussen de massa van de ring en de massa van de hele schaal is gelijk aan de verhouding tussen het oppervlak van de ring en het oppervlak van de schaal. Daarom kan de massa van de ring bij vereenvoudiging worden uitgedrukt als:

Het kwadraat van de afstand (s) kan worden uitgedrukt als de som van de kwadraten van de andere twee zijden van de driehoek, zoals te zien in Figuur 1(b).

Verder vereenvoudigen en rekening houden met verschillen aan beide kanten,

Als we de gehele schil in ogenschouw nemen, kan s variëren tussen r − R en r + R, zoals te zien in Figuur 1(c).

Daarom vervangen we dM en s in de potentiële energievergelijking en integreren we binnen de grenzen van r − R tot r + R, de verkregen relatie is de potentiële energie tussen puntmassa's m en M op een afstand r.

Daarom is de veronderstelling bewezen.

Aangezien kracht een afgeleide is van potentiële energie, geldt de aanname voor zwaartekrachten tussen twee bolvormige vaste objecten zoals de Aarde en de maan. Daarom kan de zwaartekrachtwet van Newton worden gebruikt om de zwaartekracht tussen de Aarde en de maan, en tussen de Aarde en de zon te bepalen.