Continue ladingsverdelingen

Stel je een emmer water voor. Het bevat veel moleculen, in de orde van 10²⁶ moleculen. Dus hoewel het op microscopisch niveau discrete elementen (moleculen) bevat, kan het macroscopisch als continu worden beschouwd. Elementen van water met een klein volume, oneindig klein vergeleken met het grootste deel van het volume van de emmer, bevatten nog steeds veel moleculen. Binnen dit raamwerk wordt gekwantiseerde materie voor praktische doeleinden benaderd als continu.

De elektrische lading kan ook aan een analoge behandeling worden onderworpen. Ladingen zijn inderdaad gekwantiseerd, en elektronen en protonen dragen de fundamentele eenheid van lading. Maar macroscopische objecten bevatten veel moleculen, die elk protonen en elektronen bevatten. Daarom kan de totale lading van een systeem worden beschouwd als een continue ladingsverdeling, terwijl we in gedachten houden dat dit een geschikte benadering is en niet de werkelijke realiteit.

Bij dit soort benaderingen kunnen lijnkosten, oppervlaktekosten en volumekosten in aanmerking worden genomen. Een geladen staaf kan bijvoorbeeld worden uitgedrukt via de lijnladingsdichtheid. Hoewel de andere twee dimensies, breedte en hoogte, sterk aanwezig zijn, kunnen ze genegeerd worden als er geen reden is om aan te nemen dat er een significante ladingsgradiënt langs deze twee dimensies bestaat. Gelukkig volgt de natuur het principe van superpositie voor de wet van Coulomb, en dus ook voor het elektrische veld. Men kan dan denken dat elk lijnelement van lading zijn unieke veld creëert, en de elektrische velden van alle lijnelementen kunnen vectorieel worden opgeteld om het totale elektrische veld van de staaf te berekenen. In plaats van een sommatie is de uitdrukking een integraal.

Op dezelfde manier geldt voor een oppervlakteladingsverdeling, bijvoorbeeld een vlak of het buitenoppervlak van een bolvormige geleider, de beschrijving via de oppervlakteladingsdichtheid of de lading per oppervlakte-eenheid. Het principe van superpositie zorgt ervoor dat het totale elektrische veld dan wordt gegeven door een oppervlakte-integraal, dat wil zeggen een integraal over de coördinaten die dit oppervlak beschrijven.

Op dezelfde manier, als een bepaald geladen lichaam lading in bulk bevat, bijvoorbeeld een geladen isolerende bol, wordt dit beschreven door een volumeladingsdichtheid. De integraal ligt boven de coördinaten die het volume beschrijven.