Ruimtetemporele analyse van gekoppelde thermo-foto-elastische velden in anisotrope vezelversterkte silicium met behulp van een eigenwaardemethode

Samenvatting

Deze studie analyseert gekoppelde thermo-foto-elastische velden in anisotrope, vezelversterkte silicium met behulp van een normale modus en eigenwaardemethode. De resultaten tonen ruimtelijke verval en tijdsafhankelijke veldevolutie, met een sterke gevoeligheid voor anisotropie. Heatmaps illustreren veldverdeling en lokalisatie.

Samenvatting

Deze studie onderzoekt een gekoppeld thermo-fotoelastisch systeem in een anisotroop, vezelversterkt siliciumhalfgeleidermedium, met als doel de interactie tussen thermische, draaggolf- en mechanische velden vast te leggen. Dergelijke anisotrope vezelversterkte materialen spelen een cruciale rol in moderne technische toepassingen, waaronder micro-elektronische en opto-elektronische apparaten, lasergebaseerde technologieën, sensoren en geavanceerde composietstructuren, waarbij directionele eigenschappen en verbeterde mechanische prestaties vereist zijn. Ze zijn vooral belangrijk bij het ontwerp van halfgeleidercomponenten die aan thermische en optische belasting worden blootgesteld, waarbij nauwkeurige voorspelling van het gedrag van gekoppelde velden essentieel is voor betrouwbaarheid en prestatieoptimalisatie. De beheersvergelijkingen worden geformuleerd op basis van het gekoppelde fysische model en vervolgens omgezet in een dimensieloze vorm om de analyse te vereenvoudigen en de relatieve invloed van de betrokken parameters te benadrukken. Het probleem wordt opgelost met een normaalmodustechniek en teruggebracht tot een eerste-orde vector-matrix differentiaalsysteem, gevolgd door een eigenwaardebenadering om analytische oplossingen te verkrijgen die voldoen aan de opgelegde randvoorwaarden binnen een semi-oneindig domein. Numerieke analyse wordt uitgevoerd om het effect van tijdsvariatie op alle fysische velden te onderzoeken, waarbij sterke ruimtelijke demping en gekoppeld gedrag wordt aangetoond dat wordt bepaald door anisotropie en vezelversterking. Ruimtelijke warmtekaartrepresentaties worden gebruikt om de evolutie en lokalisatie van de velden te visualiseren, wat fysiek inzicht geeft in de multifysische interacties en de effectiviteit van de analytische aanpak aantoont.

Inleiding

Thermo-fotoelasticiteit is uitgegroeid tot een belangrijk multidisciplinair vakgebied dat de interactie beschrijft tussen thermische, mechanische en optische effecten in halfgeleidermaterialen onder fotothermische excitatie. De koppeling tussen deze velden wordt vooral opvallend in moderne toepassingen waarbij laserverwarming en optische excitatie betrokken zijn. Zo onderzocht Saeed¹ thermo-foto-elastische interacties in halfgeleiders met behulp van hyperbolische tweetemperatuurmodellen, waarmee het belang van thermische relaxatie-effecten bij het nauwkeurig voorspellen van systeemgedrag werd aangetoond. De thermomechanische respons van vezelversterkte composieten heeft ook veel aandacht getrokken vanwege hun verbeterde mechanische sterkte en anisotrope eigenschappen. Li en Lambros² analyseerden het dynamische thermomechanische gedrag van dergelijke composieten en benadrukten hun geschiktheid voor geavanceerde technische toepassingen. Evenzo bestudeerden Kalkal et ^al.3 tweedimensionale (2D) vervormingen in roterende functioneel gegradueerde vezelversterkte media onder magnetische velden, waarbij de sterke invloed van anisotropie en externe effecten op systeemrespons werd aangetoond. Verder onderzochten Pitarresi et ^al.4 de rol van macroscopische heterogeniteit in thermo-elastisch gedrag, waarbij de noodzaak van nauwkeurige modellering van composietmaterialen werd benadrukt. Recente ontwikkelingen hebben deze studies ook uitgebreid naar halfgeleidermedia met gekoppelde multifysische effecten. Mondal et ^al.5 onderzochten golfvoortplanting in versterkte halfgeleiders met inweging van geheugenresponsen en magnetische velden, waarbij complexe gekoppelde interacties werden onthuld. Experimentele studies, zoals die van Akai et ^al.6, hebben vermoeidheidsschade in vezelversterkte composieten geëvalueerd met behulp van thermo-elastische temperatuurvariaties, wat hun praktische belang bevestigt. Daarnaast zijn micromechanische benaderingen gebruikt om effectieve thermo-elastische eigenschappen te schatten, zoals aangetoond door Lu et ^al.7. De invloed van externe belasting en milieuomstandigheden is ook uitgebreid bestudeerd. Barak en Dhankhar⁸ analyseerden hellende belasting in functioneel gegradueerde vezelversterkte media, terwijl Kundu en Kalkal⁹ fotothermische interacties onder zwaartekracht en bewegende thermische belastingen onderzochten. Chaudhary et ^al.10 onderzochten temperatuurafhankelijke eigenschappen met behulp van dual-phase-lag modellen, en Pandit et ^al.11 pasten fractioneel-orde rekmodellen toe om niet-lokaal vervormingsgedrag vast te leggen. Deze studies benadrukken het belang van het overwegen van realistische belasting en materiaalcondities in thermo-elastische analyse.

Dynamische en trillingsgerelateerde fenomenen zijn ook onderzocht in halfgeleidersystemen. Song et ^al.12 bestudeerden fotothermische trillingen in halfgeleiderstructuren, terwijl Mondal en Sur¹³ golfvoortplanting in orthotrope media analyseerden met geheugeneffecten. Visco-elastische en microstructurele effecten zijn onderzocht door Abouelregal et ^al.14, en de effecten van ramp-type verwarming zijn onderzocht door Hobiny et ^al.15. Bovendien zijn gegeneraliseerde thermo-elastische modellen zoals de drie-fase-lag-theorie ontwikkeld door Zenkour¹⁶ om de voorspellingsnauwkeurigheid te verbeteren. Geavanceerde multifysische modellen die elektromagnetische en micropolaire effecten bevatten, hebben het begrip van thermo-foto-elastisch gedrag verder vergroot. Al-Hazaemh et ^al.17 bestudeerden foto-elektromagneto-thermo-elastische excitatie in roterende halfgeleidermedia, terwijl Nazir en^{Kumar 18} micropolaire thermo-elastische interacties analyseerden. Song et ^al.19 onderzochten ook niet-dissipatieve thermo-elastische interacties, en Nasr en Abouelregal²⁰ onderzochten lichtabsorptieprocessen in halfgeleiders met holtes. Niet-lokale en fractioneel-orde modellen hebben een cruciale rol gespeeld in recente ontwikkelingen. Gupta et ^al.21 bestudeerden fotothermische excitatie in niet-lokale poreuze media, terwijl Hobiny en Abbas²² fractionele orde golfvoortplanting in halfgeleiders analyseerden. Hafed en Zenkour²³ onderzochten effecten van hellende belasting, en Oliinyk et ^al.24 onderzochten niet-stationaire thermo-foto-elastische effecten. Functioneel gegradueerd halfgeleidergedrag onder laserexcitatie werd ook onderzocht door Awwad et ^al.25, terwijl Gupta et ^al.26 thermo-piezo-foto-elektrische koppeling met geheugenafhankelijke modellen onderzochten. Klassieke experimentele benaderingen die thermische en optische technieken combineren, zijn ontwikkeld door Greene en Patterson²⁷ en Barone en Patterson²⁸, die betrouwbare methoden voor spanningsanalyse bieden. Bovendien ontwikkelden Kaur en^{Singh 29} niet-lokale geheugenafhankelijke modellen voor halfgeleiderresonatoren, en analyseerden Abbas et ^al.30 fotothermische interacties met variabele thermische geleidbaarheid. Experimentele en numerieke onderzoeken van versterkte samengestelde membranen werden uitgevoerd door Lu et ^al.31, terwijl Purkait en Kanori³² geheugenresponsen bestudeerden in roterende vezelversterkte media. Abo-Dahab et ^al.33 onderzochten de golfreflectie in vezelversterkte thermo-elastische media onder belastingsomstandigheden. Meer recentelijk zijn geavanceerde fractionele en niet-lokale thermo-elastische modellen voorgesteld om complexe materialen te beschrijven. Abouelregal et ^al.34 onderzochten thermische reacties in biologische weefsels met behulp van fractionele modellen, terwijl Selvamani et ^al.35,36 niet-lokale golfvoortplanting en trillingsgedrag in nanostralen bestudeerden. Daarnaast zijn dual-phase-lag en visco-elastische modellen toegepast op microstructuren door Abouelregal et ^al.37, en zijn fractionele thermo-elastische formuleringen met geheugenkernen^{ontwikkeld om} complexe gekoppelde fenomenen ^{vast te} leggen.

Ondanks deze uitgebreide ontwikkelingen richten de meeste bestaande studies zich voornamelijk op analytische of numerieke oplossingen zonder gedetailleerde ruimtelijke visualisatie van de fysieke velden te bieden. In veel praktische toepassingen, vooral in anisotrope vezelversterkte halfgeleidermedia, hangt de systeemrespons sterk af van zowel ruimtelijke als temporele variaties, waardoor visualisatie essentieel is voor nauwkeurige interpretatie. Bovendien bieden numerieke en experimentele benaderingen waardevolle inzichten, maar analytische methoden gebaseerd op normalmodus- en eigenwaardetechnieken bieden aanzienlijke voordelen bij problemen met semi-oneindige domeinen en gekoppelde multifysische systemen. Deze benaderingen maken gesloten-vorm oplossingen mogelijk, bieden een dieper fysisch begrip van golfvoortplanting, demping en koppelingsmechanismen, en dienen als betrouwbare benchmarks voor het valideren van numerieke en experimentele resultaten.

In het huidige werk wordt een uitgebreid onderzoek gepresenteerd naar het gekoppelde thermo-foto-elastische gedrag in een anisotrope, vezelversterkte halfgeleidermedium. De nieuwigheid van deze studie ligt in het integreren van een eigenwaarde-gebaseerde analytische benadering met ruimtelijke temperatuurbeelden om dieper inzicht te krijgen in de evolutie en lokalisatie van fysieke velden. Het doel van dit werk is het analyseren van de invloed van anisotropie en vezelversterking op de interactie tussen thermische, mechanische en draaggolfvelden, en om de toepasbaarheid van de voorgestelde methode aan te tonen bij het interpreteren van complexe multifysische fenomenen die relevant zijn voor moderne technische toepassingen zoals halfgeleiderapparaten, sensoren en lasergebaseerde technologieën.

Protocol

Deze studie is volledig gebaseerd op theoretische modellering en numerieke simulaties en omvat geen menselijke deelnemers, dierlijke proefpersonen of biologische monsters. Daarom waren ethische goedkeuring en geïnformeerde toestemming niet vereist.

Wiskundige formulering van fotothermoelasticiteit in vezelversterkte anisotrope media
De huidige studie onderzocht een 2D-vezelversterkte anisotrope halfgeleiderhalfruimte die wordt onderworpen aan oppervlakte-optische excitatie. Het medium besloeg het gebied x ≥ 0, waarbij de grens bij x = 0 het blootgestelde oppervlak vertegenwoordigt. Het coördinatensysteem werd zo gedefinieerd dat de x-as in het medium uitstrekte, terwijl de y-as langs het oppervlak lag en het gedrag in het vlak beschreef. Men ging ervan uit dat het materiaal homogeen maar anisotroop was vanwege de aanwezigheid van uitgelijnde versterkende vezels, wat een richtingsafhankelijkheid in de elastische en koppelende eigenschappen introduceerde. Optische absorptie aan het oppervlak genereerde lokale verwarming en overtollige ladingsdragers, wat leidde tot een volledig gekoppelde interactie tussen thermische, mechanische en draaggolfvelden. Dienovereenkomstig werd de toestand van het systeem beschreven door de temperatuur θ(x, y, t) (K), dragerdichtheid N (x, y, t) (^m-3) en verplaatsingscomponenten u (x, y, t) en v (x, y, t)(m), onder de aanname van kleine vervormingen. Een schema van het fysieke domein, coördinatensysteem, vezeloriëntatie en toegepaste optische excitatie wordt geïllustreerd in Figuur 1. Alle symbolische en numerieke berekeningen werden uitgevoerd met Wolfram Mathematica (versie 12.0).

Figuur 1. Schematische weergave van het semi-oneindige, vezelversterkte halfgeleidermedium dat aan optische excitatie wordt onderworpen aan de grens x = 0. Het coördinatensysteem (x, y) wordt getoond, met de vezeloriëntatie uitgelijnd langs de x-richting (a = (1, 0)), wat de geometrische configuratie en richtingsafhankelijke anisotropie van het medium illustreert. Klik hier om een grotere versie van deze figuur te bekijken.

De constitutieve relatie voor de spanningstensor in een vezelversterkt anisotrop thermo-elastisch halfgeleidermedium werd in algemene vorm uitgedrukt met behulp van Vergelijking 1 ^1,5. In deze formulering duidt θ de temperatuurtoename ten opzichte van de referentietemperatuur T₀ aan, terwijl T de absolute temperatuur vertegenwoordigt waar van toepassing.

.   (1)

Hier zijn C_ijkl de elastische stijfheidscoëfficiëntentens, e_kl de rektensor, en β_ij en η_ij respectievelijk de thermo-elastische en dragerkoppelingstensoren vertegenwoordigen. In aanwezigheid van vezelversterking werd de materiaalrespons richtingsafhankelijk en werd bepaald door de vezeloriëntatievector a = (a_i), die anisotrope bijdragen introduceerde in zowel de elastische als de koppelingstermen. Dienovereenkomstig werd de constitutieve relatie uitgebreid om expliciet het effect van vezelversterking te integreren als ^2,3:

. (2)

Hier zijn λ en μ_τ de Lamé-constanten, en μ_L is de longitudinale schuifmodulus langs de vezelrichting. De parameter α vertegenwoordigt de effecten van vezelversterking en is verschillend van α_ij, die thermische expansiecoëfficiënten aanduiden. De eenheidsvector definieerde de vezeloriëntatie en introduceerde richtingsafhankelijkheid in de spanning-rekrespons. Voor de huidige 2D-formulering werd aangenomen dat de vezels langs de x-as waren uitgelijnd; daarom werd de oriëntatievector expliciet genomen als a = (1, 0). Deze specificatie bood een duidelijke parametrisering van de vezelrichting en zorgde ervoor dat de anisotrope bijdragen consequent werden opgenomen in de beheersende vergelijkingen, waarbij direct het richtingsgedrag dat door vezelversterking werd geïnduceerd werd aangesproken. Voor de huidige 2D-configuratie worden de beheersende spanningscomponenten gereduceerd tot:

, (3)

, (4)

. (5)

Deze vergelijkingen illustreren de gecombineerde invloed van anisotropie, vezelversterking en multifysische koppelingseffecten. De coëfficiënten β_ij en η_ij werden als volgt gedefinieerd in termen van de materiaalparameters:

,

,

,

.

Hier vertegenwoordigen de coëfficiënten A_ij de effectieve elastische constanten van het vezelversterkte anisotrope medium en werden als volgt gedefinieerd:

. (6)

Hier zijn λ, μ_L en μ_T de elastische constanten van het anisotrope vezelversterkte medium, terwijl α_ij en ξ_ij respectievelijk de thermische en draagdragerexpansiecoëfficiënten vertegenwoordigen. De voortplanting van elastische golven in thermo-foto-elastische halfgeleidermedia werd bepaald door het principe van behoud van lineair momentum, dat de basis vormde van de dynamische thermo-elastische analyse. Bij afwezigheid van lichaamskrachten wordt de algemene bewegingsvergelijking voor een vervormbaar continuüm als volgt uitgedrukt op basis van ^1,15:

. (7)

Hier is ρ de massadichtheid en σ_ij de spanningstensor. In de huidige studie was de formulering beperkt tot een 2D-configuratie in het x-y-vlak , en werd het verplaatsingsveld weergegeven door u(x, y, t) en v(x, y, t). Volgens standaardformuleringen in thermo-foto-elastische media werden de bepalende bewegingsvergelijkingen in twee dimensies als volgt geschreven:

, (8)

. (9)

Door de anisotrope vezelversterkte constitutieve relaties in bovenstaande vergelijkingen te plaatsen, werd het resulterende gekoppelde systeem van partiële differentiaalvergelijkingen (DE's) als volgt verkregen:

, (10)

. (11)

Hier duiden subscripten partiële differentiatie aan met betrekking tot ruimtelijke en temporele variabelen. Deze vergelijkingen benadrukken de gekoppelde invloed van anisotropie, vezelversterking, temperatuurgradiënten en draaggolfdiffusie op de dynamische respons van het medium. In aanwezigheid van optische excitatie werd het thermisch veld in de halfgeleider sterk beïnvloed door de interactie met draaggolfdichtheid en mechanische vervorming, wat resulteerde in een volledig gekoppeld energietransportproces. In tegenstelling tot klassieke warmtegeleiding werd de temperatuurevolutie in dergelijke media bepaald door extra brontermen die voortkwamen uit dragerrecombinatie en thermo-elastische effecten, die de warmtevoortplantingskenmerken aanzienlijk veranderden. De warmtegeleidingsvergelijking binnen het kader van gegeneraliseerde thermoelasticiteit werd als volgt uitgedrukt^16,20:

. (12)

Hier is C_E de soortelijke warmte bij constante rek, die de thermische capaciteit van het materiaal vertegenwoordigt, en T₀ duidt de referentieabsolute temperatuur van het medium in evenwichtstoestand aan. Voor de huidige 2D-configuratie is deze vergelijking gereduceerd tot^16,20:

. (13)

Deze vergelijking toont aan dat het temperatuurveld niet alleen werd beïnvloed door directionele thermische geleidbaarheid, maar ook door draaggolfrecombinatie via de term , evenals door tijdsafhankelijke vervorming via de thermo-elastische koppelingstermen. Deze formulering ving de essentiële multifysische interacties die de warmtetransport in de anisotrope vezelversterkte halfgeleider regelen en benadrukte de rol van zowel draaggolfdynamiek als mechanische respons bij het wijzigen van het thermisch gedrag van het systeem. Wanneer een halfgeleidermedium werd blootgesteld aan optische excitatie, werden er een aanzienlijk aantal ladingsdragers gegenereerd door de absorptie van invallende straling. Deze dragers ondergingen transportprocessen die ruimtelijke diffusie, recombinatie en thermisch aangedreven generatie omvatten, die allemaal inherent verbonden waren met het temperatuurveld binnen het materiaal. Daardoor werd de draaggolfdichtheid een van de belangrijkste variabelen die de gekoppelde thermo-foto-elastische respons bepalen.

In de huidige formulering werd de evolutie van de dragerconcentratie beschreven door een balans tussen diffusiemechanismen, vervaleffecten en thermische activatieprocessen, wat leidde tot de volgende beheersrelatie ^1,5"

. (14)

Hier stelt D_E de draaggolfdiffusiecoëfficiënt voor en is het de 2D Laplaciaanoperator in het x-y-vlak. De term houdt rekening met recombinatie-effecten met relaxatietijd τ, terwijl k de thermo-dragerkoppelingscoëfficiënt is gedefinieerd als , die de gevoeligheid van de evenwichtsdragerconcentratie N₀ voor temperatuurvariaties karakteriseert. Deze relatie benadrukt de rol van temperatuur als aanjagend mechanisme voor dragergeneratie en stelt een directe koppeling vast tussen het thermische en elektronische veld in het anisotrope, vezelversterkte halfgeleidermedium.

De bepalende vergelijkingen en wiskundige formulering van het gekoppelde fotothermo-elastische draagsysteem zijn vastgesteld. De fysische en materiaalparameters die overeenkomen met het silicium (Si) medium worden samengevat in Tabel 1, samen met hun numerieke waarden, eenheden en bijbehorende referenties. Deze parameters worden vervolgens gebruikt in numerieke berekeningen en in het nondimensionalisatieproces.

Symbool	Waarde	Eenheid	Referentie
λ	3,64 × 10¹⁰	N/m²	12
μT	5.46 × 10¹⁰	N/m²	12
μL	3,20 × 10¹⁰	N/m²	12
ρ	2330	kg/m³	13
CE	695	J/(kg· K)	30
k11	0,0921 × 10³	W/(m·K)	30
K22	0,0963 × 10³	W/(m·K)	30
DE	2,5 × 10⁻³	m²/s	22
τ	5 × 10⁻⁵	s	15
T₀	300	K	15
Eg	1.11 × 10⁻¹⁹	J	12
α11	3.1 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
α22	3,5 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
ξ11	−7 × 10⁻³¹	m³	21
ξ22	−9 × 10⁻³¹	m³	21
κ	2.16 × 10²¹	m⁻³·s⁻¹· K⁻¹	21
α	−1.28 × 10¹⁰	N/m²	28
β	220,90 × 10¹⁰	N/m²	28
ω	2,95 + 1i	s⁻¹	12
a	1	— (dimensieloos)	13
y	0.6	m	13
θ₀	1	— (dimensieloos)	15
N₀	1	— (dimensieloos)	15

Tabel 1. Materiaaleigenschappen en parameters die worden gebruikt bij de numerieke analyse van het anisotrope vezelversterkte halfgeleidermedium. Alle hoeveelheden worden uitgedrukt in SI-eenheden, tenzij anders vermeld. Dimensieloze parameters worden dienovereenkomstig aangegeven. De vermelde waarden komen overeen met siliciumgebaseerde materiaaleigenschappen en modelparameters die in de huidige berekeningen zijn gebruikt, zoals verkregen uit de genoemde referenties. De thermodragerkoppelingscoëfficiënt κ wordt gedefinieerd als κ = (∂N₀/∂T)(1/τ), volgens standaardformuleringen in thermo-foto-elastische halfgeleidermodellen.

Niet-dimensionale formulering van het gekoppelde anisotrope foto-thermoelastische model
Om de beheersvergelijkingen te vereenvoudigen en een consistente niet-dimensionale representatie van het gekoppelde thermo-foto-elastische systeem te verkrijgen, werden passende karakteristieke schalen geïntroduceerd voor de ruimtelijke coördinaten x,y, tijd t, verplaatsingscomponenten u, v, temperatuur T, dragerdichtheid N en spanning σ. Deze schaalparameters werden consequent geselecteerd op basis van de intrinsieke fysische eigenschappen van het medium en de koppelingsmechanismen tussen thermische, mechanische en draagkrachtvelden, volgens gevestigde formuleringen gerapporteerd in de literatuur^16,21. Dienovereenkomstig werden de dimensieloze variabelen als volgt gedefinieerd:

, , , , , , , , , , , .

Deze transformatie verminderde het aantal onafhankelijke materiaalparameters en leverde een genormaliseerde representatie van het gekoppelde systeem op. Door bovenstaande dimensieloze variabelen in de eerder afgeleide bestuursvergelijkingen te plaatsen, werd het systeem herschreven in niet-dimensionale vorm. Voor de eenvoud werd de priemnotatie die bij de dimensieloze variabelen hoorde later weggelaten. Deze procedure leverde een compacte verzameling dimensieloze partiële DE's op, die in de volgende vorm kunnen worden geschreven:

, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

Na toepassing van de niet-dimensionale transformatie werden de spanningscomponenten van het systeem in de volgende genormaliseerde vorm geschreven:

, (19)

, (20)

. (21)

De dimensieloze parameters a_i werden geïntroduceerd om compacte combinaties van de fysische en materiële eigenschappen te representeren die het gekoppelde anisotrope foto-thermoelastische gedrag bepalen. Elke coëfficiënt weerspiegelde een specifiek interactiemechanisme binnen het systeem en gaf inzicht in de relatieve invloed van de onderliggende fysieke processen. geeft de verhouding weer tussen normale koppelstijfheid en de hoofdelastische stijfheid, en weerspiegelt de mate van anisotrope interactie tussen de twee verplaatsingscomponenten. karakteriseert de relatieve bijdrage van transversale vervorming aan de normale spanningscomponent. meet de richtingsvariatie van thermo-elastische koppeling, wat anisotropie in thermische expansie-effecten aangeeft. beschrijft de anisotrope invloed van dragerdichtheid op de geïnduceerde elastische vervorming. geeft de genormaliseerde schuifstijfheid weer en kwantificeert de bijdrage van schuifvervorming ten opzichte van normale vervorming. Houdt rekening met de gecombineerde koppeling tussen normale en schuifvervorming in de bepalende verplaatsingsvergelijkingen. drukt de verhouding uit tussen transversale stijfheid en schuifstijfheid, waarbij anisotrope vervormingsgedrag wordt benadrukt. vertegenwoordigt de genormaliseerde traagheidsparameter, die de effecten van golfvoortplanting relateert aan schuifstijfheid. karakteriseert de koppeling tussen verplaatsingsgradiënten in verschillende ruimtelijke richtingen. kwantificeert de relatieve bijdrage van thermische effecten aan het verplaatsingsveld in de dwarsrichting. meet het effect van door de drager geïnduceerde vervorming ten opzichte van schuifstijfheid. : vertegenwoordigt de anisotropie in thermische geleidbaarheid langs verschillende ruimtelijke richtingen. karakteriseert de invloed van dragerrecombinatie op warmteproductie binnen het medium. vertegenwoordigt de koppeling tussen thermische effecten en tijdsafhankelijke elastische vervorming. verklaart de gecombineerde invloed van anisotrope thermische expansie in beide ruimtelijke richtingen. vertegenwoordigt de genormaliseerde diffusieparameter die de snelheid van dragertransport regelt. karakteriseert de relatieve sterkte van dragerrecombinatie-effecten. beschrijft de koppeling tussen thermische variaties en processen voor het genereren van draagkrachten.

Analytische oplossing met behulp van de normaalmodustechniek
Om analytische oplossingen te verkrijgen voor het gekoppelde anisotrope thermo-foto-elastische systeem, werd de normalmodustechniek toegepast vanwege de effectiviteit ervan in het reduceren van de besturende gedeeltelijke DE's tot een beter hanteerbaar systeem van gewone DE's. Deze benadering wordt veel gebruikt bij de analyse van golfvoortplantingsfenomenen, waaronder dispersie en demping. Dienovereenkomstig werden harmonische variaties van de veldvariabelen zowel in tijd als in de transversale ruimtelijke richting aangenomen ^1,12,23. Zo werden de verplaatsingscomponenten, temperatuur, draaggolfdichtheid en spanning exponentiële als volgt uitgedrukt:

. (22)

Hier duidt ω de complexe frequentie aan die het temporele gedrag van de velden bepaalt, terwijl a het golfgetal vertegenwoordigt dat hoort bij de ruimtelijke variatie langs de y-richting. Deze parameters zijn geselecteerd om aan stabiliteitseisen te voldoen en fysiek toelaatbare begrensde oplossingen binnen het semi-oneindige domein te waarborgen. Door de hierboven aangenomen vormen te vervangen in de eerder afgeleide niet-dimensionale bestuursvergelijkingen en de resulterende uitdrukkingen te vereenvoudigen, werd het oorspronkelijke gekoppelde systeem van partiële DE's gereduceerd tot een systeem van gewone DE's ten opzichte van de ruimtelijke coördinaat , die als volgt kan worden geschreven:

, (23)

, (24)

, (25)

. (26)

Bovendien werden de overeenkomstige spanningscomponenten in het getransformeerde domein als volgt geschreven:

, (27)

, (28)

. (29)

Hier duidt D de differentiaaloperator aan . Deze vergelijkingen vertegenwoordigen de gereduceerde vorm van het bestuurssysteem in het normale modusdomein en vormen de basis voor het afleiden van de karakteristieke vergelijking en het construeren van de algemene analytische oplossing in daaropvolgende stappen. De coëfficiënten werden als volgt gedefinieerd: , , , , , , , .

Matrix DE-formulering en eigenwaardeanalyse
Na de toepassing van de normalmodustransformatie werd het bestuurssysteem gegeven in Vergelijkingen 23–26 gereduceerd tot een set tweede-orde gewone DE's ten opzichte van de ruimtelijke coördinaat . Om een systematische oplossing te vergemakkelijken, werd dit systeem omgezet in een equivalent eerste-orde systeem door hulpvariabelen in te voeren die overeenkomen met de eerste afgeleiden van de veldgrootheden. Specifiek werden de volgende variabelen gedefinieerd:

, . (30)

Met behulp van deze definities werden Vergelijkingen 23–26 herschreven als het volgende systeem van acht eerste-orde DE's:

, (31)

, (32)

, (33)

, (34)

. (35)

Het bovenstaande systeem werd uitgedrukt in compacte matrix A-vorm als volgt:

. (36)

De toestandsvector werd gegeven door het volgende:

. (37)

en de systeemmatrix nam de expliciete vorm aan:

. (38)

Deze formulering transformeerde het oorspronkelijke systeem in een eigenwaardeprobleem ^1,15. De karakteristieke vergelijking werd verkregen uit

. (39)

wat een achtste-orde polynoom oplevert die de eigenwaarden beheerst. In een gereduceerde vorm kan het karakteristieke polynoom worden geschreven als

. (40)

waarbij Z_i de coëfficiënten functies zijn van de systeemparameters en expliciet hieronder worden gedefinieerd. De resulterende eigenwaarden bepalen het ruimtelijke gedrag van de oplossing, inclusief dempings- en voortplantingskenmerken. Alleen eigenwaarden die voldoen aan Re(m) > 0 worden behouden om fysisch toelaatbare oplossingen te garanderen die exponentieel afnemen als x → ∞.

. (41)

De nulpunten van het karakteristieke polynoom definiëren de eigenwaarden m, die het ruimtelijke gedrag van de oplossing bepalen. Deze eigenwaarden werden numeriek berekend met behulp van Mathematica door het karakteristieke polynoom te construeren via de CharacteristicPolynomial-functie en de resulterende algebraïsche vergelijking op te lossen met NSolve. Aangezien het probleem is geformuleerd in een semi-oneindig domein (x ≥ 0), worden alleen fysisch toelaatbare oplossingen beschouwd die begrensd blijven als x → ∞. Dienovereenkomstig werden alleen eigenwaarden die aan Re(m) > 0 voldoen behouden, waardoor exponentieel afnemende oplossingen van de vorm exp(−mx) als x → ∞ worden gegarandeerd. De overige wortels werden verworpen omdat ze overeenkomen met niet-vervallende of onbegrensde oplossingen die niet consistent zijn met de fysieke eisen van het model.

Voor elke behouden eigenwaarde m werd de overeenkomstige eigenvector verkregen uit het bijbehorende algebraïsche systeem

, (42)

en werd uitgedrukt in de volgende vorm:

. (43)

Door de bovenstaande matrixvergelijking uit te breiden, werd het volgende systeem van lineaire vergelijkingen verkregen:

, (44)

, (45)

, (46)

, (47)

. (48)

Vanwege de homogeniteit van het eigenwaardeprobleem werden de eigenvectoren gedefinieerd tot op een willekeurige multiplicatieve constante. Om een unieke en consistente representatie te verkrijgen, werd een normalisatievoorwaarde opgelegd door één component van de eigenvector vast te leggen. In het huidige werk werd de eerste component geselecteerd zodat q₁ = 1 was, en de overige componenten werden sequentieel bepaald uit het bovenstaande vergelijkingssysteem. Vanuit computationeel perspectief werd deze normalisatie geïmplementeerd door een eenheidswaarde toe te kennen aan één component en het resulterende systeem van lineaire vergelijkingen op te lossen om de resterende componenten te evalueren. Deze procedure bood een systematische en reproduceerbare manier om de eigenvectoren die bij elke toelaatbare eigenwaarde horen, te berekenen.

. (49)

En de overige componenten volgen dienovereenkomstig uit de systeemrelaties. Deze eigenvectoren beschrijven de relatieve bijdragen van temperatuur, draaggolfdichtheid en verplaatsingsvelden binnen elke modus. Bijgevolg werd de algemene oplossing van het probleem geconstrueerd als een lineaire combinatie van de toelaatbare eigenmodi, elk geassocieerd met een eigenwaarde en de bijbehorende eigenvector, waarmee een volledige analytische beschrijving werd gegeven van het gekoppelde anisotrope foto-thermo-elastische gedrag in het halfruimtemedium. De algemene oplossing van het systeem werd daarom als volgt geschreven:

. (50)

Hier zijn C_i constanten die worden bepaald uit de randvoorwaarden. Door de bovenstaande vectoruitdrukking uit te breiden, werden de veldvariabelen als volgt verkregen:

, (51)

, (52)

, (53)

. (54)

Deze representatie toont aan dat de oplossing bestaat uit een superpositie van exponentiële modi, waarbij elk eigenwaarde-eigenvectorpaar onafhankelijk bijdraagt aan de algehele fysieke respons. De toelaatbare eigenwaarden worden zo geselecteerd dat hun reële delen positief zijn, wat zorgt voor begrensde en fysiek betekenisvolle oplossingen als x → ∞.

Randvoorwaarden en Fysieke Beperkingen
Door de algemene oplossing in de voorgeschreven randvoorwaarden bij x = 0 te vervangen, werd een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen in termen van de constanten C_i verkregen. Specifiek werd elke randvoorwaarde (temperatuur, draaggolfdichtheid en verplaatsingsbeperkingen) uitgedrukt in termen van de eigenmodusuitbreidingen, wat resulteerde in een reeks vergelijkingen die de coëfficiënten C_i relateerden. Deze procedure leidde tot een lineair systeem dat in matrixvorm kan worden geschreven als BC = D, waarbij B de coëfficiëntenmatrix is die wordt opgebouwd uit de componenten van de eigenvectoren geëvalueerd aan de rand, C = (C₁, C₂, C_{3,C 4}) ^T is de vector van onbekende constanten, en wordt bepaald uit de opgelegde randwaarden zoals θ₀, N₀, en de verplaatsingsbeperkingen. Het resulterende lineaire systeem werd computationeel opgelost met behulp van Mathematica, waarbij de coëfficiëntmatrix en de rechtervector expliciet werden samengesteld, en de onbekende constanten werden verkregen met behulp van de LinearSolve-routine . Deze constanten werden vervolgens teruggezet in de algemene oplossing om de volledige uitdrukkingen voor de fysieke velden te construeren, die vervolgens werden gebruikt in de numerieke evaluatie en grafische weergave van de resultaten.

De opgelegde randvoorwaarden werden als volgt gegeven:

Temperatuurbeperking:

. (55)

Deze voorwaarde vertegenwoordigt een harmonisch variërende oppervlaktetemperatuur die wordt geïnduceerd door periodieke optische verwarming. Het fungeert als de primaire thermische excitatie die de gekoppelde thermo-elastische en dragertransportprocessen binnen het medium aandrijft. De amplitude θ₀ karakteriseert de intensiteit van de toegepaste thermische belasting.

Dragerdichtheidsbeperking:

. (56)

Deze randvoorwaarde beschrijft de foto-gegenereerde draagwaterdichtheid die voortkomt uit optische verlichting. Het weerspiegelt de elektronische excitatie door fotonabsorptie en de harmonische modulatie ervan die consistent is met het invallende optische veld.

Verplaatsingsbeperking:

. (57)

Deze voorwaarde geeft aan dat de grens mechanisch beperkt is in de transversale richting. Daarom treedt er geen verplaatsing op langs de v-richting aan het oppervlak.

Afschuifspanningsbeperking:

. (58)

Deze voorwaarde komt overeen met een trekvrije grens met betrekking tot afschuifspanning. Het zorgt ervoor dat er geen tangentiële krachten op het oppervlak werken, wat consistent is met een mechanisch vrije grens in de tangentiële richting. Naast de randvoorwaarden bij x = 0 werd de fysieke eis bij oneindig opgelegd als: het waarborgen van begrensde fysieke oplossingen binnen het semi-oneindige domein. Voordat de numerieke resultaten worden gepresenteerd, wordt de algemene computationele procedure die in deze studie is toegepast samengevat in Figuur 2. De numerieke waarden van de excitatieparameters θ₀, N₀, complexe frequentie ω en golfgetal a die in de berekeningen worden gebruikt, worden vermeld in Tabel 1. Parameters die in Tabel 1 worden vermeld, omvatten zowel dimensionale materiaalconstanten als niet-dimensionale parameters die in de genormaliseerde formulering worden gebruikt. Voor numerieke evaluatie werd het ruimtelijke domein gedefinieerd als , de transversale coördinaat was vastgesteld op y = 0,6, en het temporele domein werd beschouwd binnen . Deze bereiken werden gebruikt voor alle numerieke berekeningen en grafische weergaven.

Figuur 2. Computationele workflow van de voorgestelde methode. De figuur illustreert de volgorde van stappen van formulering tot numerieke resultaten: regelende vergelijkingen, niet-dimensionalisatie, toepassing van de normaalmodustechniek, conversie naar een eerste-orde systeem, matrixformulering, eigenwaarde- en eigenvectoranalyse, toepassing van randvoorwaarden, bepaling van constanten en het genereren van numerieke plots. Klik hier om een grotere versie van deze figuur te bekijken.

Resultaten

Numerieke resultaten
In deze sectie werden numerieke berekeningen uitgevoerd om het gedrag van het gekoppelde thermo-foto-elastische draagsysteem in een anisotrope, vezelversterkte halfgeleidermedium te analyseren. Het behandelde materiaal was silicium (Si), en de fysieke en materiaalparameters worden vermeld in Tabel 1. Deze materiaalconstanten werden direct in de beheersvergelijkingen opgenomen en geïmplementeerd in de numerieke berekeningen om de v...

Discussie

De verkregen resultaten geven duidelijk fysisch inzicht in het gekoppelde thermo-fotoelastische gedrag in anisotrope vezelversterkte halfgeleidermedia. De huidige studie stelt een analytisch kader gebaseerd op eigenwaarde voor het onderzoeken van de interactie tussen thermische belasting, dragergeneratie en elastische vervorming in dergelijke media. De waargenomen respons wordt fundamenteel bepaald door de sterke koppeling tussen deze fysische processen. De absorptie van optische energie...

Materialen

Lijst van materialen gebruikt in dit artikel

Naam	Bedrijf	Catalogusnummer	Opmerkingen
Computational software (symbolische en numerieke analyse)	Wolfram Research	Wolfram Mathematica (versie 12.0) werd gebruikt	Gebruikt voor eigenwaardeberekening, implementatie van analytische oplossing en numerieke evaluatie
Gereedschappen voor gegevensvisualisatie (contour- en heatmapgeneratie)	Wolfram Research	Wolfram Mathematica (versie 12.0) werd gebruikt voor het genereren van 2D-contourplots en ruimtelijk-temporele heatmaps	Gebruikt voor het genereren van 2D-contourplots en ruimtelijk-temporele heatmaps
Gegevensset van materiaalparameters (eigenschappen van siliciumhalfgeleiders)	Verschillende literatuurbronnen	N/A	Fysische constanten (elastisch, thermisch, dragergerelateerd) gebruikt in berekeningen (Tabel 1)
Persoonlijke computer/werkstation	HP	N/A	Berekeningen werden uitgevoerd op een standaard persoonlijke computer met Windows OS en voldoende geheugen voor numerieke simulaties
Vergelijkingseditor	Microsoft  Word en MathType	N/A	Gebruikt voor het opmaken en presenteren van wiskundige uitdrukkingen in het manuscript
Referentiebeheersoftware	Elsevier	N/A	Gebruikt voor het beheren van referenties en het opmaken van citaties (Vancouver-stijl)