Name: linearizing nonlinear rl circuits
Uploaded: 2024-09-26T13:17:19.000Z
Duration: 1 min 26 s
Channel: JoVE

Układy liniowe wykazują superpozycję, sumowanie odpowiedzi na poszczególne dane wejściowe i jednorodność, konsekwentne skalowanie odpowiedzi na dane wejściowe pomnożone przez skalar.
System nieliniowy można uznać za liniowy względem punktu operacyjnego dla małych zmian.
Rozwinięcie szeregów Taylora łączy wartość funkcji z jej pochodnymi w określonym punkcie i odchyleniami od tego punktu. Zaniedbanie składników wyższego rzędu dla małych odchyleń daje zależność liniową.
Rozważmy obwód RL z rezystorem nieliniowym. Obecność składowej nieliniowej wymaga linearyzacji systemu przed wyprowadzeniem funkcji przenoszenia.
Prawo napięcia Kirchhoffa jest wykorzystywane do wyprowadzenia nieliniowego równania różniczkowego.
Prąd w stanie ustalonym jest znajdowany przez ustawienie źródła małego sygnału na zero.
Wyrażenie jest przepisywane pod względem wartości równowagi prądu. Charakterystyki rezystora nieliniowego są wykorzystywane do wyprowadzenia zlinearyzowanego równania różniczkowego.
Znane wartości są podstawiane, a transformata Laplace'a jest stosowana z zerowymi warunkami początkowymi.
Wyrażenie na napięcie na cewce indukcyjnej wokół punktu równowagi jest poddawane transformatyce Laplace'a i upraszczane w celu uzyskania funkcji przenoszenia.

aproksymacja liniowa w dziedzinie częstotliwości

Linear Approximation in Frequency Domain

Układy liniowe charakteryzują się dwiema głównymi właściwościami: superpozycją i jednorodnością. Superpozycja pozwala, aby odpowiedź na wiele danych wejściowych była sumą odpowiedzi na każde indywidualne dane wejściowe. Jednorodność zapewnia, że skalowanie danych wejściowych przez skalar powoduje, że odpowiedź jest skalowana przez ten sam skalar.

W przeciwieństwie do tego układy nieliniowe nie posiadają z natury tych właściwości. Jednak w przypadku małych odchyleń wokół punktu pracy układ nieliniowy można często aproksymować jako liniowy. To przybliżenie uzyskuje się poprzez rozwinięcie w szereg Taylora, które wyraża funkcję w kategoriach jej pochodnych w określonym punkcie. Poprzez zaniedbywanie wyrazów wyższego rzędu dla małych odchyleń uzyskuje się zależność liniową.

Rozważ obwód RL zawierający rezystor nieliniowy. Aby przeanalizować ten układ, konieczna jest liniowość przed wyprowadzeniem funkcji przejścia.

<img alt="Figure1" src="/files/ftp_upload/16099/16099_PT%20Figure_1.svg" style="text-align: center; height: 180px;">

Pierwszy krok obejmuje zastosowanie napięciowego prawa Kirchhoffa, co skutkuje nieliniowym równaniem różniczkowym opisującym układ. Na przykład równanie prawa napięciowego może mieć postać:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16099/16099_PT%20EQUATION_1.svg" style="text-align: center; height: 20px;">

Gdzie V(t) jest przyłożonym napięciem, L jest indukcyjnością, R jest rezystancją, a E reprezentuje napięcie akumulatora.

Aby znaleźć prąd ustalony, ustawiamy źródło małego sygnału na zero i rozwiązujemy równanie dla prądu równowagowego i_0. Następnie nieliniowe równanie różniczkowe jest przepisywane w kategoriach odchyleń od tej równowagi:

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16099/16099_PT%20EQUATION_2.svg" style="text-align: center; height: 22px;">

Charakterystyki nieliniowego rezystora są używane do wyprowadzenia zlinearyzowanego równania różniczkowego. W przypadku niewielkich odchyleń prądu równanie napięcia można zapisać w następujący sposób:

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16099/16099_PT%20EQUATION_3.svg" style="text-align: center; height: 32px;">

Podstawiając to przybliżenie do równania prawa napięcia, otrzymujemy liniowe równanie różniczkowe. Przy podstawieniu znanych wartości i założeniu zerowych warunków początkowych, stosuje się transformację Laplace'a, aby przekształcić równanie różniczkowe w równanie algebraiczne Laplace'a.

Aproksymacja liniowa w dziedzinie częstotliwości

Układy liniowe wykazują superpozycję, sumowanie odpowiedzi na poszczególne dane wejściowe i jednorodność, konsekwentne skalowanie odpowiedzi na dane wejściowe pomnożone przez ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrotechnika

Unit 1

Jednostka 1

Modeling in Time and Frequency Domain

Modelowanie w dziedzinie czasu i częstotliwości

KEY TERMS AND CONCEPTS

KLUCZOWE TERMINY I POJĘCIA

linearizing nonlinear rl circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount.

Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a Taylor series expansion, which writes a function using its derivatives at one point. When higher-order terms are ignored for small deviations, the result is a linear relationship.

An RL circuit with a nonlinear resistor is a common example. The circuit is first described with Kirchhoff's voltage law, which gives a nonlinear differential equation. In that equation, V(t) is the applied voltage, L is the inductance, R is the resistance, and E is the battery voltage.

To analyze the circuit, the steady-state current is found first. The small-signal source is set to zero, and the equilibrium current i0 is solved for. The nonlinear equation is then rewritten in terms of small deviations from that equilibrium.

Next, the resistor’s characteristics are used to build the linearized equation. For small changes in current, the voltage can be approximated with a linear expression. Substituting that approximation into the voltage law gives a linear differential equation. With known values and zero initial conditions, the Laplace transform converts the equation into an algebraic form in the Laplace domain.

Linearizing Nonlinear RL Circuits

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC Circuit Transfer Functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

linear approximation in frequency domain

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount. Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a...

state space representation

RLC Circuit State Equations

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems. The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order...

transfer function to state space

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

Phase-variable state equations show how a transfer function can be rewritten for computer simulation. In state-space form, the system is described with state variables, which are the output and its first several derivatives. This makes it easier to model a physical system on a digital computer. The starting point is an nth-order linear differential equation with constant coefficients. Systems like an RLC circuit can be written this way. To build the state equations, the transfer function is...

state space to transfer function

Finding a Transfer Function from State Space

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems. The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics. Next, the Laplace...

linear approximation in time domain

Linearizing Nonlinear State-Space Models

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs. A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its...

key terms and concepts

Learn how a nonlinear RL circuit is linearized with Taylor series, steady-state current, Kirchhoff's voltage law, and the Laplace transform.

Linearizing Nonlinear RL Circuits | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Linearizing Nonlinear RL Circuits

Description

Transcript

Tags