Name: finding a transfer function from state space
Uploaded: 2024-11-21T14:54:05.000Z
Duration: 1 min 21 s
Channel: JoVE

Reprezentację przestrzeni stanów można również przekształcić w funkcję transferu w analizie systemowej.
Transformacja rozpoczyna się od podanego stanu i równań wyjściowych.
W tym miejscu stosowana jest transformata Laplace'a, przy założeniu zerowych warunków początkowych. To przekształca równania z dziedziny czasu na dziedzinę częstotliwości.
Równanie stanu jest rozwiązywane dla X(s), gdzie I reprezentuje macierz jednostkową. To rozwiązanie jest następnie podstawiane do równania wyjściowego.
Wynikowa macierz, znana jako macierz funkcji przenoszenia, łączy wektor wyjściowy z wektorem wejściowym.
Gdy te wektory są skalarami, możliwe staje się znalezienie końcowej funkcji przenoszenia, kończąc w ten sposób transformację z reprezentacji przestrzeni stanów do funkcji przenoszenia.
Rozważmy układ zdefiniowany przez macierze o różnych wymiarach, które tworzą równania stanu i wyjściowe.
Podczas gdy wszystkie inne składniki w równaniu funkcji przenoszenia są już zdefiniowane, jeden składnik pozostaje nieznany.
Aby znaleźć ten termin, używane są znane wartości macierzy z równania stanu. Ponadto obliczana jest odwrotność.
Po podstawieniu reprezentacja przestrzeni stanów jest przekształcana w funkcję transferu.

przestrzeń stanu do funkcji transferu

State Space to Transfer Function

Konwersja reprezentacji przestrzeni stanu na funkcję przejścia jest podstawowym procesem w analizie systemów. Zapewnia metodę przejścia z opisu w dziedzinie czasu do reprezentacji w dziedzinie częstotliwości, co jest kluczowe dla uproszczenia analizy i projektowania systemów sterowania.

Proces transformacji rozpoczyna się od reprezentacji przestrzeni stanu, charakteryzującej się równaniem stanu i równaniem wyjściowym. Te równania są zazwyczaj przedstawiane jako:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16102/16102_PT_equation_001.svg" style="height: 14px;">
<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16102/16102_PT_equation_002.svg" style="height: 14px;">

Gdzie x(t) jest wektorem stanu, u(t) jest wektorem wejściowym, y(t) jest wektorem wyjściowym, a A, B, C i D są macierzami definiującymi dynamikę układu.

Aby przekształcić te równania w dziedzinę częstotliwości, stosuje się transformację Laplace’a, zakładając zerowe warunki początkowe. Następnie rozwiązuje się równanie stanu dla X(s).

Rozważmy układ z danymi macierzami A, B, C i D. Proces transformacji obejmuje obliczenie odwrotności (SI−A), podstawienie znanych wartości i uproszczenie wyrażenia w celu uzyskania funkcji przejścia. Ta transformacja jest kluczowa dla analizy zachowania układu, projektowania regulatorów i zrozumienia odpowiedzi częstotliwościowej układu.

Podsumowując, przekształcenie reprezentacji przestrzeni stanu na funkcję przejścia obejmuje zastosowanie transformaty Laplace'a, rozwiązanie równania stanu w dziedzinie częstotliwości i wyprowadzenie macierzy funkcji przejścia, która upraszcza się do skalarnej funkcji przejścia dla układów o pojedynczym wejściu i pojedynczym wyjściu (SISO).

Przestrzeń stanu do funkcji transferu

Reprezentację przestrzeni stanów można również przekształcić w funkcję transferu w analizie systemowej.
Transformacja rozpoczyna się od podanego stanu i wyjścia ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrotechnika

Unit 1

Jednostka 1

Modeling in Time and Frequency Domain

Modelowanie w dziedzinie czasu i częstotliwości

KEY TERMS AND CONCEPTS

KLUCZOWE TERMINY I POJĘCIA

finding a transfer function from state space

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems.

The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics.

Next, the Laplace transform is applied. This step assumes zero initial conditions. The state equation is then solved for X(s), the state vector in the Laplace domain.

For a system with known A, B, C, and D matrices, the next step is to calculate the inverse of (sI−A). The known values are substituted into the expression, and the result is simplified to obtain the transfer function. This result is especially useful for studying system behavior and frequency response.

The same method gives a transfer function matrix for multi-input, multi-output systems. For single-input, single-output, or SISO systems, that matrix reduces to a scalar transfer function. This conversion is an important tool for control design and system analysis.

Finding a Transfer Function from State Space

finding-a-transfer-function-from-state-space

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC Circuit Transfer Functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

linear approximation in frequency domain

Linearizing Nonlinear RL Circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount. Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a...

state space representation

RLC Circuit State Equations

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems. The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order...

transfer function to state space

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

Phase-variable state equations show how a transfer function can be rewritten for computer simulation. In state-space form, the system is described with state variables, which are the output and its first several derivatives. This makes it easier to model a physical system on a digital computer. The starting point is an nth-order linear differential equation with constant coefficients. Systems like an RLC circuit can be written this way. To build the state equations, the transfer function is...

state space to transfer function

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems. The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics. Next, the Laplace...

linear approximation in time domain

Linearizing Nonlinear State-Space Models

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs. A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its...

key terms and concepts

Learn how state-space equations are converted into a transfer function using the Laplace transform, zero initial conditions, and the inverse of (sI−A).

Finding a Transfer Function from State Space | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Finding a Transfer Function from State Space

Description

Transcript

Tags