Name: checking stability with the routh table
Uploaded: 2024-11-21T14:54:10.000Z
Duration: 1 min 15 s
Channel: JoVE

Weźmy pod uwagę sieć elektryczną, w której stabilność ma kluczowe znaczenie dla zapobiegania przerwom w dostawie prądu. Za pomocą kryterium Routh-Hurwitza można ocenić stabilność systemu w zmiennych warunkach obciążenia lub awarii.
Rozważmy funkcję przesyłania w pętli zamkniętej. Aby utworzyć tabelę Routh, wiersze są oznaczone potęgami s od najwyższej.
Pierwszy wiersz jest wypełniany poziomo każdym innym współczynnikiem mianownika, zaczynając od najwyższej potęgi. Drugi wiersz następuje po następnej najwyższej potędze i zawiera listę pominiętych współczynników.
Kolejne wpisy są obliczane na podstawie ujemnych wyznaczników poprzednich wierszy, podzielonych przez wpis znajdujący się bezpośrednio nad wpisem w pierwszej kolumnie.
W przypadku systemu obliczane są wiersze tabeli Routh. Dodatnia stała skaluje wiersze niezależnie.
Kryterium Routha-Hurwitza mówi, że liczba pierwiastków wielomianu w prawej półpłaszczyźnie jest równa liczbie zmian znaków w pierwszej kolumnie tabeli Routha, co wskazuje na układ niestabilny.
System jest stabilny, jeśli wszystkie bieguny znajdują się w lewej połowie płaszczyzny s, co jest równoznaczne z brakiem zmian znaków w pierwszej kolumnie tabeli Routh.

kryterium stabilności routha-hurwitza i

Rozważmy sieć elektroenergetyczną, w której stabilność jest niezbędna, aby zapobiec przerwom w dostawie prądu. Kryterium stabilności Routha-Hurwitza jest cennym narzędziem do oceny stabilności systemu przy zmieniających się warunkach obciążenia lub awarii. Analizując funkcję przejścia pętli zamkniętej, kryterium stabilności Routha-Hurwitza pomaga określić, czy system pozostaje stabilny.

Aby zastosować kryterium Routha-Hurwitza, konstruowana jest tablica Routha. Wiersze tablicy są oznaczone potęgami zmiennej częstotliwości zespolonej s, zaczynając od najwyższej potęgi. Zmienna s reprezentuje liczbę zespoloną, zwykle w formie

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16116/16116_PT%20Equation_1.svg" style="height: 14px;">

gdzie σ jest częścią rzeczywistą, a jω częścią urojoną. Pierwszy wiersz wypełniany jest poziomo każdym innym współczynnikiem wielomianu mianownika, zaczynając od najwyższej potęgi. Drugi wiersz wypełniany jest następnie pominiętymi współczynnikami z pierwszego wiersza.

 Następne wpisy w tabeli Routh są obliczane przy użyciu wyznaczników poprzednich wierszy. Dokładniej, każdy wpis jest określany przez wzięcie ujemnego wyznacznika dwóch wpisów nad nim i podzielenie go przez pierwszy wpis w kolumnie bezpośrednio nad nim. Ten proces jest kontynuowany, aż cała tabela zostanie wypełniona.

Aby to zilustrować, rozważmy system, dla którego obliczane są wiersze tabeli Routha. W razie potrzeby każdy wiersz jest niezależnie skalowany przez dodatnią stałą, aby uprościć obliczenia. Zgodnie z kryterium Routha-Hurwitza liczba pierwiastków wielomianu w prawej połowie płaszczyzny s odpowiada liczbie zmian znaku w pierwszej kolumnie tabeli Routha. Te zmiany znaku wskazują na niestabilność.

Odwrotnie, układ jest stabilny, jeśli wszystkie bieguny znajdują się w lewej połowie płaszczyzny s, co oznacza, że ​​nie ma żadnych zmian znaku w pierwszej kolumnie tabeli Routha. Upewnienie się, że nie nastąpią żadne zmiany znaku, potwierdza, że ​​układ pozostanie stabilny w różnych warunkach działania.

Zrozumienie i stosowanie kryterium stabilności Routha-Hurwitza jest kluczowe dla utrzymania stabilności złożonych systemów, takich jak sieci elektroenergetyczne. Poprzez sprawdzenie, czy wszystkie bieguny znajdują się w lewej połowie płaszczyzny s, inżynierowie mogą zapewnić, że system będzie działał niezawodnie, zapobiegając problemom takim jak przerwy w dostawie prądu i zapewniając ciągłe zasilanie. Ta metoda zapewnia systematyczne podejście do analizy stabilności, identyfikując i łagodząc potencjalną niestabilność w systemie.

Kryterium stabilności Routha-Hurwitza I

Weźmy pod uwagę sieć elektryczną, w której stabilność ma kluczowe znaczenie dla zapobiegania przerwom w dostawie prądu. Korzystając z kryterium Routha-Hurwitza, stabilność systemu w warunkach ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrotechnika

Unit 1

Jednostka 1

Transient and Steady-state Response Analysis

Analiza odpowiedzi przejściowej i ustalonej

transient-and-steady-state-response-analysis

KEY TERMS AND CONCEPTS

KLUCZOWE POJĘCIA I KONCEPCJE

Routh-Hurwitz Criterion I

checking stability with the routh table

Checking stability with the Routh table is a useful part of analyzing a closed-loop transfer function. It helps determine whether a system will remain stable when load conditions change or when a fault occurs. In a power grid, this kind of check is important because instability can lead to blackouts.

The Routh-Hurwitz criterion uses a table built from the denominator polynomial of the transfer function. The rows of the Routh table are labeled by powers of the complex variable s, starting with the highest power. Here, s is a complex number with a real part, σ, and an imaginary part, jω.

The first row is filled with every other coefficient from the denominator polynomial. It starts with the coefficient from the highest power term. The second row then uses the coefficients that were skipped in the first row.

The remaining entries are found from the rows above them. Each new value is calculated from the negative determinant of the two entries above it, divided by the first entry in the column directly above. If needed, each row can be scaled by a positive constant to make the calculations simpler.

Once the table is complete, the first column gives the stability result. The number of sign changes in that column matches the number of roots in the right-half s-plane. Sign changes show instability. If there are no sign changes, then all poles are in the left-half s-plane and the system is stable. This makes the Routh-Hurwitz criterion a systematic way to test whether a system can operate reliably under different conditions.

Checking Stability with the Routh Table

transient and steady-state response

Control System Test Signals and Stability

Control system test signals help measure how a system reacts to change, stability, and accuracy. A ramp function is useful when a system changes gradually. A step function is used when a system faces a sudden disturbance. An impulse function is the best test signal for a shock input. These signals are used to study two main performance features: transient response and steady-state response. Transient response is the short-term change from the initial state to the final state. It shows how fast...

first order systems

RC System Responses to Step Inputs

RC circuits and other first-order systems show how a simple input can shape system response over time. These systems are often studied through their transfer function, which links the input and output under zero initial conditions. That relationship makes it easier to analyze how the system behaves when the input changes. A unit-step input gives a response that starts at zero and rises toward one. The Laplace transform of the step input is applied to the transfer function, then the result is...

second order systems i

Servo System Response in Second-Order Models

A servo system is a second-order model that links an input position to an output position. It uses a proportional controller and load elements to keep the output aligned with the input. This behavior can be written as a second-order differential equation. When the equation is transformed with the Laplace transform under zero initial conditions, it becomes a transfer function. The transfer function shows how the input is converted into the output. It can also be rewritten as a closed-loop...

second order systems ii

Step Response of Second-Order Systems

Second-order systems react to a unit-step input in different ways depending on the damping ratio. When the damping ratio, zeta, is between 0 and 1, the system is underdamped. In this case, inverse Laplace methods give an output that oscillates with a decreasing amplitude. The error signal, which is the difference between the input and output, also shows damped oscillations before it goes to zero at steady state. When zeta equals 0, the system is undamped. The response keeps oscillating forever...

stability

System Response and Stability

System response and stability describe how a linear time-invariant (LTI) system reacts to a change in input. The time response has two parts: transient response and steady-state response. The transient response is the first reaction and it fades to zero over time. The steady-state response remains after the transient effects have disappeared. An LTI system is stable when it gives a bounded output for a bounded input. For these systems, stability depends on the roots of the characteristic...

routh-hurwitz criterion i

Checking stability with the Routh table is a useful part of analyzing a closed-loop transfer function. It helps determine whether a system will remain stable when load conditions change or when a fault occurs. In a power grid, this kind of check is important because instability can lead to blackouts. The Routh-Hurwitz criterion uses a table built from the denominator polynomial of the transfer function. The rows of the Routh table are labeled by powers of the complex variable s, starting with...

routh-hurwitz criterion ii

Routh Table Special Cases

Routh table special cases can make stability analysis harder when using the Routh-Hurwitz criterion. Two situations need extra care. One is a zero in the first column. The other is an entire row of zeros. When a single zero appears in the first column, division by zero would occur. The usual fix is to replace that zero with a very small number, epsilon (ε). The stability test then continues by assuming a sign for ε. If ε is positive, any sign change in the first column means the system is...

key terms and concepts

Learn how the Routh-Hurwitz criterion uses a Routh table to test system stability by tracking sign changes and pole locations in the s-plane.

Checking Stability with the Routh Table | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Checking Stability with the Routh Table

Description

Transcript

Tags