Name: modeling voltage and current on transmission lines
Uploaded: 2024-11-21T14:54:26.000Z
Duration: 1 min 26 s
Channel: JoVE

Rozważmy obwód reprezentujący przekrój linii.
Napięcie i prąd są mierzone od strony odbiorczej, ze zdefiniowaną impedancją szeregową i admitancją bocznika na jednostkę długości.
Korzystając z praw Kirchhoffa i przyjmując granice, delta x zbliża się do zera, wyprowadza się dwa liniowe równania różniczkowe. Różnicowanie napięcia i podstawienie go do równania prądu daje równanie jednorodne drugiego rzędu.
Rozwiązanie obejmuje dwie stałe całkowania i stałą propagacji. Podstawienie tego do równania napięcia i zmiana mianownika daje wyrażenie prądu o impedancji charakterystycznej.
Po oszacowaniu stałych całkowania na podstawie warunków brzegowych i zidentyfikowaniu funkcji hiperbolicznych uzyskuje się parametry ABCD linii rozłożonej. Zapewniają one prąd i napięcie w dowolnym punkcie w stosunku do wartości końcowych odbioru.
Parametry ABCD są również oceniane po stronie wysyłającej. Stała propagacji, wielkość zespolona, jest bezwymiarowa po pomnożeniu przez długość i pomaga w określaniu funkcji hiperbolicznych.
Te parametry mają zastosowanie do każdej długości linii. Aproksymacja może być używana do obliczeń ręcznych obejmujących linie o krótkiej i średniej długości.

równania różniczkowe linii przesyłowych

Linie przesyłowe są istotnymi elementami systemów elektroenergetycznych. Charakteryzują się rozproszoną naturą rezystancji (R), indukcyjności (L) i pojemności (C) na jednostkę długości. Aby przeanalizować te linie, stosuje się równania różniczkowe do modelowania zmian napięcia i prądu wzdłuż linii.

Model przekroju liniowego

Obwód przedstawiający odcinek linii o długości Δ_x pomaga w zrozumieniu parametrów linii transmisyjnej. Napięcie V(x) i prąd i(x) są mierzone od końca odbiorczego. Linia ma impedancję szeregową z=R+jωL na jednostkę długości i admitancję bocznikową y=G+jωC na jednostkę długości. Stosując prawo Kirchhoffa napięciowe (KVL) i prawo Kirchhoffa prądowe (KCL) do tej konfiguracji, wyprowadź zależności dla zmian napięcia i prądu wzdłuż linii.

Gdy Δ_x zbliża się do zera, relacje te przekształcają się w liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu jednorodne

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%201.svg" style="height: 30px;">

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%202.svg" style="height: 30px;">

Te równania różniczkowe z kolei opisują, jak zmieniają się napięcie i prąd na całej długości linii przesyłowej.

Rozwiązanie tych równań różniczkowych obejmuje określenie stałej propagacji γ, która obejmuje efekty zarówno impedancji szeregowej, jak i admitancji bocznikowej. Ogólne rozwiązania dla napięcia i prądu wzdłuż linii obejmują dwie stałe całkowania oceniane przy użyciu warunków brzegowych na końcu odbiorczym.

Charakterystyczna impedancja Z_c jest kluczowym parametrem, odzwierciedlającym wewnętrzną impedancję linii przesyłowej. Korzystając z rozwiązań równań różniczkowych, napięcie i prąd wyrażone wzdłuż linii w postaci funkcji hiperbolicznych, cosh (cosinus hiperboliczny) i sinh (sinus hiperboliczny), funkcji matematycznych używanych do modelowania rozkładu napięcia i prądu.

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%203.svg" style="height: 14px;">

<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%204.svg" style="height: 32px;">

Parametry ABCD

Parametry ABCD, czyli stałe linii transmisyjnych, są wyprowadzane z tych funkcji hiperbolicznych. Parametry te zapewniają reprezentację macierzową, która odnosi napięcie i prąd w dowolnym punkcie linii do wartości na końcu odbiorczym. Parametry ABCD są kluczowe dla zrozumienia, w jaki sposób sygnały rozprzestrzeniają się przez linię transmisyjną.

<img alt="Equation5" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%205.svg" style="height: 32px;">

Stała propagacji

Stała propagacji γ jest wielkością zespoloną, której części rzeczywista i urojona reprezentują odpowiednio tłumienie i przesunięcie fazowe. Po pomnożeniu przez długość linii stała ta staje się bezwymiarowa i jest niezbędna do oceny funkcji hiperbolicznych opisujących rozkład napięcia i prądu.

Dokładne parametry ABCD są ważne dla dowolnej długości linii i oferują dokładne rozwiązanie dla zachowania linii przesyłowych. Do praktycznych obliczeń ręcznych obejmujących linie krótkie i średniej długości można stosować przybliżenia. Parametry te kompleksowo analizują linie przesyłowe w różnych warunkach pracy, zapewniając wydajną i niezawodną transmisję mocy.

Równania różniczkowe linii przesyłowych

Rozważmy obwód reprezentujący przekrój linii.
Napięcie i prąd są mierzone od strony odbiorczej, z określoną impedancją szeregową i bocznikiem ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrotechnika

Unit 1

Jednostka 1

Steady-State Transmission Lines and Power Flows

Linie transmisyjne w stanie ustalonym i przepływy mocy

steady-state-transmission-lines-and-power-flows

KEY TERMS AND CONCEPTS

KLUCZOWE TERMINY I POJĘCIA

Transmission-Line Differential Equations

modeling voltage and current on transmission lines

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation.

A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end. The line also includes a series impedance, z = R + jωL, and a shunt admittance, y = G + jωC, per unit length.

Kirchhoff’s Voltage Law and Kirchhoff’s Current Law are applied to the small line section. As Δx becomes very small, the results turn into linear, first-order, homogeneous differential equations. These equations describe how voltage and current change along the transmission line.

Solving the equations gives the propagation constant, γ. This complex value combines the effects of series impedance and shunt admittance. Its real part shows attenuation, and its imaginary part shows phase shift. The product of γ and the line length is dimensionless and is used in the hyperbolic functions that describe the line behavior.

The general solutions for voltage and current include two integration constants. These constants are found from boundary conditions at the receiving end. The solutions also define the characteristic impedance, Zc, which reflects the intrinsic impedance of the transmission line. Voltage and current can then be written with cosh and sinh functions.

From these hyperbolic expressions, the ABCD parameters, also called transmission line constants, are obtained. They give a matrix form that relates the voltage and current at any point on the line to the values at the receiving end. The exact ABCD parameters work for any line length, while short- and medium-length lines may use approximations for hand calculations.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

modeling-voltage-and-current-on-transmission-lines

transmission-line differential equations

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation. A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end.

lossless lines

Lossless Lines and Voltage Behavior

Lossless transmission lines in electrical engineering are described by a purely imaginary propagation constant and a resistive characteristic impedance. Their ABCD parameters show an equivalent pi circuit with an imaginary series impedance and a shunt admittance. When the product of beta and line length is less than pi, the line has inductive series impedance and capacitive shunt admittance, which keeps it lossless. Wavelength is the physical length over which voltage or current phase changes...

maximum power flow and line loadability

Transmission Line Power Limits and Loadability

Transmission line power limits and loadability depend on voltage, angle, and line impedance. For lossy transmission lines, ABCD parameters in phasor form are used to relate sending-end and receiving-end voltages and currents. This matrix relation makes it possible to find the receiving-end current and then calculate the complex power delivered to the load. From the complex power, the real and reactive power components can be determined. For a lossless line, the equations become simpler, and...

the power flow problem and solution

Power Flow Analysis in Electric Networks

Power flow analysis helps determine how real and reactive power move through an electric network. It uses the system’s single-line diagram, which shows the buses, transmission lines, transformers, and loads. The analysis focuses on balanced three-phase steady-state operation. Each bus in the system has four key variables: voltage magnitude V k, phase angle δ k, real power P k, and reactive power Q k. Two of these four variables are treated as inputs. The power flow program solves for the...

control of power flow

Voltage and Reactive Power Control

Voltage and reactive power control help keep a power system stable and efficient. In this topic, generator settings, switched equipment, and transformer taps work together to guide how power moves through the network. A generator can be modeled with a Thevenin equivalent circuit under balanced steady-state conditions. The main terms are terminal voltage Vt, excitation voltage Eg, power angle δ, and positive-sequence synchronous reactance Xg. From this model, the generator current and the...

fast decoupled and dc powerflow

Power Flow Shortcuts for Grid Contingencies

Fast decoupled power flow and DC power flow give engineers faster ways to study a power system during contingencies such as generator outages or transmission line failures. These methods help operators get quick power flow solutions, which is important for real-time system adjustments. Fast decoupled power flow simplifies the Jacobian matrix, the set of equations used in power flow calculations, by neglecting some elements. The method drops J2 and J3 and assumes voltage magnitudes stay close...

key terms and concepts

See how distributed R, L, and C lead to transmission-line differential equations, propagation constant γ, characteristic impedance Zc, and ABCD parameters.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

Description

Transcript

Tags