Name: pressure and velocity in inviscid flow
Uploaded: 2025-02-13T15:43:25.000Z
Duration: 1 min 28 s
Channel: JoVE

W poruszającym się płynie naprężenia ścinające powstają pod wpływem lepkości. W przypadku wody, która ma niską lepkość, efekty te są znikome, co upraszcza analizę ruchu płynu.
Gdy naprężenia ścinające są znikome, płyn jest uważany za nielepki lub pozbawiony tarcia. W płynach nielepkich naprężenie normalne jest takie samo we wszystkich kierunkach, co oznacza, że ciśnienie jest niezależne od kierunku naprężenia.
Ciśnienie jest ujemnym naprężeniem normalnym, zapewniając, że naprężenia ściskające skutkują dodatnią wartością ciśnienia.
Ogólne równania ruchu dla przepływu nielepkiego, znane jako równania Eulera, opisują zachowanie pędu. Równania te reprezentują drugie prawo Newtona zastosowane do pierwiastka płynnego, wiążące zmiany prędkości z siłami działającymi na płyn.
Równania Eulera uwzględniają gradienty ciśnienia, siły ciała, takie jak grawitacja, oraz przyspieszenia - zarówno lokalne, jak i konwekcyjne - które napędzają zmiany prędkości płynu.
Zaniedbują siły lepkości, upraszczając analizę, ale pozostają trudne do rozwiązania ze względu na nieliniowe warunki prędkości w równaniach różniczkowych cząstkowych.
Integracja równań Eulera wzdłuż linii strumienia wyprowadza równanie Bernoulliego, dostarczając wglądu w zmiany ciśnienia, prędkości i wysokości w nielepkich przepływach, co czyni je kluczowym narzędziem w mechanice płynów.

równania ruchu eulera

Euler&#39;s Equations of Motion

W mechanice płynów naprężenia ścinające powstają z lepkości, która reprezentuje wewnętrzny opór płynu na odkształcenie. W przypadku płynów o niskiej lepkości, takich jak woda, naprężenia te są minimalne, co upraszcza analizę przepływu, umożliwiając traktowanie płynu jako nielepkiego, czyli bez tarcia. W płynie nielepkim naprężenia ścinające nie występują, pozostawiając jedynie naprężenia normalne, które działają prostopadle do elementów płynu. Co ciekawe, ciśnienie — zdefiniowane jako ujemna wartość naprężenia normalnego — pozostaje jednorodne w różnych kierunkach i nie zależy od orientacji naprężenia.

Ruch płynów nielepkich jest opisywany równaniami Eulera, wyprowadzonymi z drugiego prawa Newtona, stosowanego do dynamiki płynów. Równania te opisują zachowanie pędu, odnosząc szybkość zmiany prędkości do sił działających na element płynu. Dla płynu nielepkiego odpowiednie siły to gradienty ciśnienia oraz siły ciała, takie jak grawitacja. Równania Eulera wyrażają równowagę tych sił, pomijając człony lepkie, w postaci:

<img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/18057/18057_Equation_1.svg" style="text-align: center; height: 30px;">

gdzie ρ jest gęstością płynu, v jest wektorem prędkości, p jest ciśnieniem, a g reprezentuje przyspieszenie grawitacyjne.

Chociaż równania Eulera pomijają lepkość, pozostają złożone z powodu ich członów nieliniowych, które uwzględniają przyspieszenie konwekcyjne cząsteczek płynu. Po zintegrowaniu wzdłuż linii prądu równania te prowadzą do równania Bernoulliego, które opisuje podstawową zależność w mechanice płynów, łącząc ciśnienie, prędkość i wysokość w przepływach nielepkich. Równanie Bernoulliego jest potężnym narzędziem do analizy rozkładu energii w przepływach płynów, wspierającym zastosowania w transporcie płynów, aerodynamice i hydrodynamice.

Równania ruchu Eulera

W poruszającym się płynie naprężenia ścinające powstają pod wpływem lepkości. W przypadku wody, która ma niską lepkość, efekty te są znikome, co upraszcza ruch płynu ...

Education

JoVE Core

Civil Engineering

Inżynieria lądowa

Unit 1

Jednostka 1

Differential Analysis of Fluid Flow

Analiza różniczkowa przepływu płynów

KEY TERMS AND CONCEPTS

KLUCZOWE TERMINY I POJĘCIA

pressure and velocity in inviscid flow

Pressure and velocity in inviscid flow are linked by Euler's equations of motion. In fluid mechanics, viscosity creates shear stress, which is a force that acts along a surface. For low-viscosity fluids like water, these shear stresses are very small. That lets the fluid be treated as inviscid, or frictionless.

In an inviscid fluid, shear stresses are absent. Only normal stresses remain, and these act perpendicular to a fluid element. Pressure is the negative of the normal stress. It stays the same in different directions and does not depend on how the stress is oriented.

Euler's equations come from Newton's second law applied to fluid motion. They describe momentum conservation by linking the change in velocity to the forces on a fluid element. For inviscid flow, those forces are pressure gradients and body forces such as gravity. The equations include density, velocity, pressure, and gravitational acceleration, but they leave out viscous terms.

Even without viscosity, Euler's equations are still nonlinear. That means they are complex because they include convective acceleration, which follows the motion of fluid particles. When the equations are integrated along a streamline, they lead to Bernoulli's equation. Bernoulli's equation connects pressure, velocity, and elevation in inviscid flows and is useful for fluid transport, aerodynamics, and hydrodynamics.

Pressure and Velocity in Inviscid Flow

euler&#39;s equations of motion

Pressure and velocity in inviscid flow are linked by Euler's equations of motion. In fluid mechanics, viscosity creates shear stress, which is a force that acts along a surface. For low-viscosity fluids like water, these shear stresses are very small. That lets the fluid be treated as inviscid, or frictionless. In an inviscid fluid, shear stresses are absent. Only normal stresses remain, and these act perpendicular to a fluid element. Pressure is the negative of the normal stress. It stays the...

stream function

Stream Function for Incompressible Flow

The stream function helps describe two-dimensional incompressible flow. In this type of flow, the continuity equation keeps mass conserved. That means fluid entering a region must be balanced by fluid leaving it. For incompressible flow, the density stays constant. The continuity requirement then becomes a zero-divergence condition for the velocity field. In two dimensions, the horizontal and vertical velocity components are usually written as u and v. A stream function, written as ψ, is used...

irrotational flow

Irrotational Flow Near Boundaries

Irrotational flow is fluid motion in which particles do not spin around their own axes. It has zero vorticity, which means the curl of the velocity field is zero. That condition places limits on the velocity gradients in the flow. A simple example is uniform flow. In this case, the velocity u stays constant, while v and w are both zero. This satisfies the irrotational conditions and gives a basic model of non-rotating flow. When a solid object is added, irrotational flow usually remains only...

velocity potential

Velocity Potential in Pipe Flow

Velocity potential in pipe flow describes the motion of fluid in the central region of a long, straight pipe with a uniform cross-section. In this region, the flow is steady, incompressible, and irrotational. Irrotational means the fluid particles do not spin around their own axes. A scalar function called the velocity potential, written as φ, is used to describe this motion. The velocity field V is defined as the gradient of φ. Because the curl of a gradient is always zero, this form of V...

plane potential flows

Plane Potential Flow Patterns and Models

Plane potential flows describe fluid motion using simple flow patterns and models. They assume the fluid is irrotational and incompressible. These assumptions let the flow be written with a velocity potential function, φ, which gives the flow speed in a direction, and a stream function, ψ, which shows the flow path. Both are governed by Laplace's equation and are useful for estimating flow patterns, velocity distributions, and pressure fields around hydraulic structures. Uniform flow is the...

navier&#8211;stokes equations

Fluid Stress and Flow Equations

Fluid stress and flow equations describe how incompressible Newtonian fluids move under pressure, shear, and gravity. In these fluids, density stays constant, and stress changes linearly with the rate of deformation. The main stress types are normal stress and shear stress. Normal stress depends on pressure acting on the fluid and on deformation rate in specific directions. Shear stress acts along the surface of a fluid layer. It shows how neighboring layers slide past one another, so velocity...

steady, laminar flow between parallel plates

steady-laminar-flow-between-parallel-plates

Laminar Flow Profile Between Parallel Plates

Laminar flow between parallel plates shows how fluid moves through a narrow, flat channel. This model helps describe flow in water conveyance and drainage systems, where the space is limited and the motion stays orderly. It is also useful for analyzing flow in rectangular channels used in many engineering settings. The flow is studied with the Navier-Stokes equations, which govern fluid motion. These equations are often difficult to solve because they are nonlinear. In this case, the problem...

couette flow

Linear Shear Between Moving Plates

Linear shear between moving plates describes fluid motion in a simple channel with two parallel plates. One plate stays fixed, and the other moves at a constant speed. This setup helps show how viscosity and incompressible flow shape fluid motion under the Navier-Stokes equations. The model uses a steady, laminar, incompressible flow with no pressure gradient in the flow direction. The x-axis points along the moving direction of the upper plate, and the y-axis is perpendicular to both plates.

steady, laminar flow in circular tubes

Parabolic Flow in Circular Tubes

Parabolic flow in circular tubes describes the steady, incompressible motion of a viscous fluid through a tube with a constant radius. This Hagen-Poiseuille flow is a classic example of laminar flow. It is often used to study fluid transport in narrow channels, including capillaries. Cylindrical coordinates are used to describe the tube. The radial direction is r, the angular direction is θ, and the axial direction is z. In this flow, the velocity is purely axial. That means the fluid moves...

design example: flow of oil through circular pipes

design-example-flow-of-oil-through-circular-pipes

Pressure Drop in Oil Pipe Design

Pressure drop in oil pipe design depends on pipe size, oil properties, and the flow rate needed through a circular pipe. For steady, incompressible, laminar flow, Hagen-Poiseuille's law gives an exact solution from the Navier-Stokes equations. It is used to find the pressure difference needed to keep oil moving through a pipeline section. The pressure drop equation uses the oil's dynamic viscosity, the pipeline length, the desired volumetric flow rate, and the pipe's inner radius. This...

key terms and concepts

Learn how pressure, velocity, and gravity shape inviscid fluid motion through Euler's equations, and how they lead to Bernoulli's equation along a streamline.

Pressure and Velocity in Inviscid Flow | JoVE K12

JoVE Core Civil Engineering provides a foundational exploration of essential construction materials in civil engineering, focusing on bricks, stones, steel, wood, and concrete through easy-to-understand animated videos. This collection covers the properties, manufacturing processes, and practical applications of these materials. Additionally, the accompanied science-in-action videos demonstrate the research experiments performed in laboratories.

civil engineering

Pressure and Velocity in Inviscid Flow

Description

Transcript

Tags