1.11: Niepewność pomiaru: liczby znaczące

Uncertainty in Measurement: Significant Figures
JoVE Core
Chemistry
A subscription to JoVE is required to view this content.  Sign in or start your free trial.
JoVE Core Chemistry
Uncertainty in Measurement: Significant Figures
Please note that all translations are automatically generated. Click here for the English version.

62,027 Views

03:34 min
September 03, 2020

Overview

Wszystkie cyfry w pomiarze, w tym niepewna ostatnia cyfra, są nazywane cyframi znaczącymi lub cyframi znaczącymi. Należy pamiętać, że zero może być wartością zmierzoną; Na przykład, jeśli na wadze, która pokazuje wagę z dokładnością do jednego funta, widnieje wartość “140”, oznacza to, że 1 (setki), 4 (dziesiątki) i 0 (jedynki) są wartościami znaczącymi (zmierzonymi).

Wynik pomiaru jest prawidłowo podawany, gdy jego cyfry znaczące dokładnie reprezentują pewność procesu pomiaru. Poniżej znajduje się zestaw reguł określających liczbę cyfr znaczących w pomiarze:

  1. Wszystkie cyfry niezerowe są znaczące. Zaczynając od pierwszej cyfry niezerowej po lewej stronie, policz tę cyfrę i wszystkie pozostałe cyfry po prawej stronie. Jest to liczba cyfr znaczących w pomiarze. Na przykład 843 ma trzy cyfry znaczące, a 843.12 ma 5 cyfr znaczących. 
  2. Uwięzione zera, które są zerami między dwiema niezerowymi cyframi, są znaczące. Na przykład 808.101 ma dwa uwięzione zera i 6 cyfr znaczących.
  3. Zera wiodące to zera po lewej stronie pierwszej cyfry niezerowej. Cyfry wiodące nigdy nie są znaczące; reprezentują one jedynie pozycję przecinka dziesiętnego. Na przykład zera wiodące w 0,008081 nie są istotne. Liczba ta może być wyrażona za pomocą notacji wykładniczej jako 8,081 × 10−3, następnie liczba 8,081 zawiera wszystkie cyfry znaczące, a 10−3 lokalizuje przecinek dziesiętny.
  4. Znaczenie zer końcowych, które są zerami na końcu liczby, zależy od ich położenia. Zera końcowe przed (ale po cyfrze różnej od zera) i po przecinku dziesiętnym są znaczące. Jednak w przypadku liczb, które nie mają przecinków dziesiętnych, zera końcowe mogą, ale nie muszą być znaczące. Tę niejednoznaczność można rozwiązać za pomocą notacji wykładniczej. Na przykład pomiar 1300 można zapisać jako 1,3 × 103 (dwie cyfry znaczące), 1,30 × 103 (trzy cyfry znaczące, jeśli zmierzono miejsce dziesiątek) lub 1,300 × 103 (cztery cyfry znaczące, jeśli miejsce jedynki również zostało zmierzone).

Liczby znaczące w obliczeniach

Niepewności pomiarów można uniknąć, podając wyniki obliczeń z odpowiednią liczbą cyfr znaczących. Można to określić za pomocą następujących reguł zaokrąglania liczb:

  1. Podczas dodawania lub odejmowania liczb zaokrąglaj wynik do tej samej liczby miejsc dziesiętnych, co liczba z najmniejszą liczbą miejsc dziesiętnych.
  2. Podczas mnożenia lub dzielenia liczb zaokrąglij wynik do tej samej liczby cyfr, co liczba z najmniejszą liczbą cyfr znaczących.
  3. Jeśli cyfra, która ma zostać upuszczona (ta znajdująca się bezpośrednio po prawej stronie cyfry, która ma zostać zachowana) jest mniejsza niż 5, “zaokrąglij w dół” i pozostaw zachowaną cyfrę bez zmian.
  4. Jeśli cyfra, która ma zostać upuszczona (ta znajdująca się bezpośrednio po prawej stronie cyfry, która ma zostać zachowana) ma wartość 5 lub większą, “zaokrąglij w górę” i zwiększ zachowaną cyfrę o 1. Można również zastosować alternatywne metody zaokrąglania, jeśli opuszczoną cyfrą jest 5. Zachowana cyfra jest zaokrąglana w górę lub w dół, w zależności od tego, która z tych wartości jest parzysta.

Ważną uwagą jest to, że zaokrąglanie liczb znaczących powinno być najlepiej przeprowadzane na końcu obliczeń wieloetapowych, aby uniknąć akumulacji błędów na każdym etapie spowodowanych zaokrąglaniem. W ten sposób cyfry znaczące i zaokrąglenia ułatwiają prawidłowe odwzorowanie pewności podawanych wartości pomiarowych.

Ten tekst został zaadaptowany z Openstax, Chemia 2e, Sekcja 1.5: Niepewność pomiaru, dokładność i precyzja.

Transcript

Wszystkie liczby w pomiarze naukowym są pewne, z wyjątkiem ostatniej cyfry. Pewność pomiaru zależy od dwóch czynników: liczby cyfr w pomiarze i precyzji użytego przyrządu. 

W mierzonej wielkości wszystkie cyfry, w tym ostatnia niepewna cyfra, nazywane są liczbami znaczącymi i można je określić za pomocą określonych reguł.

Wszelkie cyfry niezerowe i wszystkie uwięzione zera, które leżą między dwiema cyframi niezerowymi, są znaczące. Na przykład 28 ma dwie cyfry znaczące, podczas gdy 26.25 ma cztery, a 208 ma trzy.

Zera wiodące nigdy nie są znaczące, ponieważ po prostu lokalizują kropkę dziesiętną. Na przykład 0,00208 ma trzy cyfry znaczące. Wielkości takie można wyrazić za pomocą notacji wykładniczej. Zatem 0,00208 można zapisać jako 2,08 × 10−3.

Zera końcowe są znaczące tylko w liczbach sformatowanych dziesiętnie. 2200 ma dwa zera końcowe i dwie cyfry znaczące, podczas gdy 2200.0 i 2200.1 mają po 5 cyfr znaczących. 

W przypadku ilości bez przecinków dziesiętnych znaczenie zer końcowych staje się niejednoznaczne. Tak więc 2200 można zapisać jako 2.2 × 103 z dwiema cyframi znaczącymi lub 2.20 × 103 z trzema cyframi znaczącymi.

Znaczące cyfry pomagają również osiągnąć pewność w operacjach matematycznych. Dodawanie lub odejmowanie wynik należy zaokrąglić w dół, aby mieć taką samą liczbę miejsc dziesiętnych, jak pomiar z najmniejszą liczbą miejsc dziesiętnych. 

Zaokrąglanie w dół powinno być wykonywane, gdy ostatnia cyfra jest poniżej 5, a zaokrąglanie w górę, gdy wynosi 5 lub więcej. Inne metody zaokrąglania są czasami używane, gdy ostatnią cyfrą jest 5. Na przykład suma 2,052 i 1,2 jest zaokrąglana jako 3,3.

Jednak podczas mnożenia lub dzielenia wynik należy zaokrąglić, aby uzyskać taką samą liczbę cyfr znaczących, jak pomiar z najmniejszą liczbą cyfr znaczących. W związku z tym iloczyn liczb 2,052 i 1,2 zaokrągla się do wartości 2,5.

Naukowcy często powtarzają eksperymenty, aby osiągnąć precyzję swoich pomiarów. Odchylenie standardowe jest wyrazem statystycznym takiej precyzji i mierzy rozproszenie od wartości oczekiwanej. Jeśli precyzja jest wysoka, odchylenie standardowe jest małe i na odwrót. 

Na przykład dwie grupy mierzyły grubość książki w centymetrach. Znaleźli tę samą średnią: 10,6 cm. Jednak pomiary pierwszej grupy są bardziej precyzyjne, a co za tym idzie mają mniejsze odchylenie standardowe. Druga grupa ma bardziej rozproszone pomiary i wyższe odchylenie standardowe.

Key Terms and definitions​

Learning Objectives

Questions that this video will help you answer

This video is also useful for