7.7: Długość fali de Broglie’a

W świecie makroskopowym obiekty, które są na tyle duże, że można je zobaczyć gołym okiem, podlegają prawom fizyki klasycznej. Kula bilardowa poruszająca się po stole będzie zachowywać się jak cząstka; będzie kontynuować podróż po linii prostej, chyba że zderzy się z inną piłką lub działa na nią inna siła, np. tarcie. Piłka ma dobrze określone położenie i prędkość lub dobrze określony pęd, p = mv, który jest określony przez masę m i prędkość v w dowolnym momencie. Jest to typowe zachowanie klasycznego obiektu.

Kiedy fale oddziałują ze sobą, wykazują wzorce interferencji, których nie widać na makroskopowych cząstkach, takich jak kula bilardowa. Jednak w latach dwudziestych XX wieku stawało się coraz bardziej jasne, że bardzo małe kawałki materii podlegają innym zestawom zasad niż duże obiekty. W mikroskopijnym świecie fale i cząstki są nierozłączne.

Jedną z pierwszych osób, która zwróciła uwagę na szczególne zachowanie mikroskopijnego świata, był Louis de Broglie. Zakwestionował on, że skoro promieniowanie elektromagnetyczne może mieć charakter cząsteczkowy, to czy elektrony i inne cząstki submikroskopowe mogą wykazywać charakter falowy? De Broglie rozszerzył dualizm falowo-cząsteczkowy światła, którego Einstein użył do rozwiązania paradoksu efektu fotoelektrycznego na cząstki materialne. Przewidział, że cząstka o masie m i prędkości v (czyli pędzie liniowym p) powinna również zachowywać się jak fala o długości fali λ, wyrażona wzorem, w którym h jest stałą Plancka:

Nazywa się to długością fali de Broglie’a. Tam, gdzie Bohr postulował, że elektron jest cząstką krążącą wokół jądra po skwantowanych orbitach, de Broglie argumentował, że założenie Bohra o kwantyzacji można wyjaśnić, jeśli zamiast tego elektron uzna się za kołową falę stojącą. Tylko całkowita liczba długości fal mogła zmieścić się dokładnie na orbicie.

Jeśli elektron postrzega się jako falę krążącą wokół jądra, na orbicie musi zmieścić się całkowita liczba długości fal, aby możliwe było zachowanie się fali stojącej.

Dla orbity kołowej o promieniu r obwód wynosi 2πr, zatem warunek de Broglie'a jest następujący:

gdzie n = 1, 2, 3 i tak dalej. Wkrótce po tym, jak de Broglie zaproponował falową naturę materii, dwóch naukowców z Bell Laboratories, C. J. Davisson i L. H. Germer, wykazało eksperymentalnie, że elektrony mogą zachowywać się falowo. Wykazano to poprzez skierowanie wiązki elektronów na tarczę z krystalicznego niklu. Odstępy atomów w siatce były w przybliżeniu takie same, jak długości fal de Broglie’a skierowanych na nią elektronów, a regularnie rozmieszczone warstwy atomowe kryształu służyły jako „szczeliny”, co wykorzystuje się w innych eksperymentach interferencyjnych.

Początkowo, gdy zarejestrowano tylko kilka elektronów, zaobserwowano wyraźne zachowanie przypominające cząstkę. W miarę przybywania i rejestrowania coraz większej liczby elektronów pojawił się wyraźny wzór interferencji, będący cechą charakterystyczną zachowania falowego. Zatem wydaje się, że chociaż elektrony są małymi, zlokalizowanymi cząstkami, ich ruch nie jest zgodny z równaniami ruchu sugerowanymi przez mechanikę klasyczną. Zamiast tego ich ruchem rządzi równanie falowe. Zatem dualizm korpuskularno-falowy zaobserwowany po raz pierwszy w przypadku fotonów jest zachowaniem podstawowym, właściwym dla wszystkich cząstek kwantowych.

Jeśli elektrony są cząstkami, to gdy wiązka elektronów przechodzi przez dwie blisko rozmieszczone szczeliny, oczekuje się, że wyłonią się dwie mniejsze wiązki elektronów i wytworzą dwa jasne paski z ciemnością pomiędzy nimi.
Początkowo, przy zaledwie kilku elektronach, zlokalizowane plamki pojawiają się losowo na ekranie. Sugeruje to zachowanie podobne do cząsteczki.

Jednak w miarę jak coraz więcej elektronów przechodzi przez szczeliny, pojawia się wzór interferencyjny – cecha charakterystyczna zachowania przypominającego falę. Jak to możliwe?

Przypomnijmy, że model Bohra proponował, że elektron jest cząstką, która krąży wokół jądra. Francuski fizyk Louis de Broglie postulował, że elektron może wykazywać właściwości falowe. Zasugerował, że elektron zachowuje się jak kołowa fala stojąca o długości fali, lambda.

Obwód każdej orbity zawiera całkowitą liczbę długości fal. Niektóre punkty na fali mają zerową amplitudę — są to węzły. 

De Broglie zaproponował następującą zależność, w której długość fali elektronu zależy od jego masy i prędkości, gdzie h jest stałą Plancka. Im większa prędkość elektronu, tym krótsza jest jego długość fali. 

Hipoteza de Broglie'a rozciąga się na całą materię, a fale te nazywane są "falami materii". Jednak duże, makroskopowe obiekty, takie jak piłka golfowa, nie pojawiają się jako fale. Jeśli zastosujemy zależność de Broglie'a, niewielka wartość stałej Plancka podzielona przez masę i prędkość piłki golfowej ujawnia niezwykle małą długość fali, która jest zbyt mała, aby ją zaobserwować.

Jednak w przypadku cząstek subatomowych o bardzo małych masach – takich jak elektrony – ich falowa natura nie może być ignorowana.

Kiedy promienie rentgenowskie przechodzą przez kryształ, fale ulegają dyfrakcji i uzyskuje się charakterystyczny wzór interferencyjny, który ujawnia układ atomów w krysztale. Jest to technika laboratoryjna znana jako dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego. 

Jeśli podobny eksperyment jest przeprowadzany przez przepuszczanie elektronów przez kryształ zamiast promieni rentgenowskich, obserwuje się podobne zachowanie. Jest to eksperymentalny dowód na to, że elektrony są cząstkami, które wykazują zachowanie podobne do falowego.