Kwantowo-mechaniczny model atomu

Przypomnijmy sobie, że natura cząstki i natura falowa elektronu, a co za tym idzie jego położenie i prędkość, są własnościami uzupełniającymi. Podobnie, ponieważ energia kinetyczna jest funkcją prędkości, położenie i energia są również właściwościami uzupełniającymi. 

Dlatego dla elektronu o dobrze zdefiniowanej energii jego położenie jest mniej dokładnie znane. Zamiast tego położenie elektronu jest opisane przez gęstość prawdopodobieństwa elektronu, która odwzorowuje prawdopodobieństwo znalezienia elektronu o określonej energii. W tej reprezentacji jest bardziej prawdopodobne, że elektron będzie bliżej jądra atomu niż bardzo daleko od niego. 

Energie i rozkład prawdopodobieństwa elektronu są matematycznie wyprowadzane przez rozwiązanie równania Schrӧdingera, które integruje zarówno naturę falową, jak i naturę cząstki elektronu. Tutaj E jest rzeczywistą energią elektronu, H jest operatorem matematycznym, a ψ jest funkcją falową.

Rozwiązanie równania Schrӧdingera daje wiele możliwych funkcji falowych. Jednak to kwadrat funkcji falowej, ψ², reprezentuje gęstość prawdopodobieństwa elektronów. 

Gęstość kropek jest proporcjonalna do prawdopodobieństwa na jednostkę objętości zlokalizowania