Wkrótce po tym, jak de Broglie opublikował swoje pomysły, że elektron w atomie wodoru może być lepiej postrzegany jako kołowa fala stojąca, a nie cząstka poruszająca się po skwantowanych kołowych orbitach, Erwin Schrödinger rozszerzył pracę de Broglie’a, wyprowadzając to, co jest obecnie znane jako równanie Schrödingera. Kiedy Schrödinger zastosował swoje równanie do atomów wodoropodobnych, był w stanie odtworzyć wyrażenie Bohra dla energii, a tym samym wzór Rydberga rządzący widmami wodoru. Schrödinger opisał elektrony jako trójwymiarowe fale stacjonarne lub funkcje falowe, reprezentowane przez grecką literę psi, ψ.

Kilka lat później Max Born zaproponował interpretację funkcji falowej ψ, która jest akceptowana do dziś: elektrony są nadal cząstkami, a więc fale reprezentowane przez ψ nie są falami fizycznymi, ale są zespolonymi amplitudami prawdopodobieństwa. Kwadrat wielkości funkcji falowej ∣ψ∣² opisuje prawdopodobieństwo, że cząstka kwantowa znajdzie się w pobliżu określonego miejsca w przestrzeni. Oznacza to, że funkcje falowe można wykorzystać do określenia rozkładu gęstości elektronu względem jądra atomu. W najogólniejszej postaci równanie Schrödingera można zapisać jako:

gdzie, Ĥ jest operatorem Hamiltona, zbiorem operacji matematycznych reprezentujących całkowitą energię (potencjalną plus kinetyczną) cząstki kwantowej (takiej jak elektron w atomie), ψ jest funkcją falową tej cząstki, którą można wykorzystać do znalezienia specjalnego rozkładu prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, a E jest rzeczywistą wartością całkowitej energii cząstki.

Prace Schrödingera, a także Heisenberga i wielu innych naukowców idących w jego ślady, są ogólnie określane jako mechanika kwantowa.

Model mechaniki kwantowej opisuje orbital jako trójwymiarową przestrzeń wokół jądra w atomie, w której prawdopodobieństwo znalezienia elektronu jest największe.

Ten tekst jest zaadaptowany z Openstax, Chemia 2e, Sekcja 6.3: Rozwój teorii kwantowej.