Twierdzenie o osi równoległej do obszaru

Jaki jest moment bezwładności dla obszaru cienkiej płytki wokół dowolnej osi?

Rozważmy element różniczkowy w pewnej odległości od osi środka ciężkości równoległej do danej osi. Można obliczyć jego różnicowy moment bezwładności.

Całkowanie wyrażenia na całej powierzchni daje moment bezwładności płytki wokół osi płaskiej.

Tutaj pierwszy składnik reprezentuje moment bezwładności wokół środka ciężkości, podczas gdy trzeci składnik jest równy całkowitej powierzchni. Drugi składnik wynosi zero, ponieważ oś ta przechodzi przez środek ciężkości.

Otrzymane wyrażenie daje moment bezwładności wokół osi płaskiej. Podobnie uzyskuje się moment bezwładności względem drugiej osi płaskiej.

Zsumowanie tych momentów bezwładności daje biegunowy moment bezwładności.

Zatem moment bezwładności wokół dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności wokół równoległej do niej osi środka ciężkości plus iloczyn pola powierzchni i kwadratu odległości między osiami. Otrzymane wyrażenie nazywa się twierdzeniem o osi równoległej dla obszaru.