Transformacja naprężenia płaskiego

Rozważmy punkt na sześcianie, w którym występują naprężenia płaskie, zdefiniowane przez jego składowe naprężenia.

Jeśli element obraca się o kąt, zmieniają się jego składowe naprężenia. Zmiana ta jest określana przez uwzględnienie elementu pryzmatycznego o ścianach prostopadłych do jego osi.

Biorąc pod uwagę obszar powierzchni ukośnej, pola powierzchni pionowych i poziomych można obliczyć za pomocą funkcji trygonometrycznych kąta obrotu.

Siły wywierane na te ściany są reprezentowane i zakłada się, że na trójkątne ściany elementu nie działają żadne siły. Równania równowagi są następnie zapisywane za pomocą komponentów wzdłuż obróconych osi.

Po rozwiązaniu tych równań wyprowadzane są naprężenia normalne i ścinające. Naprężenia normalne i ścinające są następnie ponownie wyrażane za pomocą relacji trygonometrycznych.

Wyrażenie dla naprężenia normalnego na obróconej osi pionowej uzyskuje się przez podstawienie kąta obrotu w jednym z poprzednich wyrażeń nowym kątem.

Obserwuje się, że suma naprężeń normalnych wywieranych na element sześcienny pozostaje niezależna od orientacji elementu.