Właściwości DTFT II

Rozważmy dyskretną parę transformaty Fouriera (DTFT), rozróżnij obie strony względem Ω, a następnie pomnóż przez j.

Prawa strona staje się transformatą Fouriera nx[n], ilustrującą właściwość różnicowania częstotliwości.

Zastosuj konwolucję w czasie dyskretnym do par DTFT, zmień kolejność sumowania po prawej stronie i zastosuj właściwość przesunięcia w czasie.

Podstawianie równań daje właściwość splotu w czasie.

Pomnóż sygnały domeny podwójnej i zamień kolejność całkowania i sumowania po prawej stronie.

Odpowiada to okresowej konwolucji w dziedzinie częstotliwości, przeskalowanej przez odwrotność okresu, wykazującej konwolucję częstotliwości.

Właściwość akumulacji koncentruje się na sumowaniu sygnału w czasie dyskretnym.

DTFT skumulowanego sygnału ma oryginalny DTFT przeskalowany przez współczynnik wykładniczy plus składnik funkcji delta, wskazujący składowe okresowe o wielokrotnościach 2π.

Energia sygnału E_x jest sumą kwadratów wielkości w dziedzinie czasu. Jest to równe całki z kwadratów wielkości jego DTFT, co demonstruje relację Parsevala.