Relacja między DFT i transformacją Z

Dyskretna transformata Fouriera (DFT) analizuje zawartość częstotliwości sygnałów w czasie dyskretnym.

Mapuje N-próbkowaną dyskretną sekwencję w dziedzinie czasu na jej dyskretną sekwencję w dziedzinie częstotliwości, gdzie k reprezentuje indeks częstotliwości od 0 do N minus jeden.

Dla sekwencji dyskretnej transformata z jest definiowana przez zsumowanie składników sekwencji pomnożonych przez potęgi odwrotności z.

Rozważmy transformację z sekwencji dyskretnej. Dla ciągu przyczynowego transformata z upraszcza się do skończonego sumowania.

Poprzez próbkowanie transformaty z w równomiernie rozmieszczonych punktach na okręgu jednostkowym, reprezentowanych przez wykładniki zespolone, wartości te są podstawiane do transformaty z.

Wynikowe wyrażenie jest zgodne z definicją DFT, pokazując, że DFT sekwencji jest próbkowaną wersją jej transformacji z na okręgu jednostkowym.

DFT jest próbkowaną wersją transformaty z ocenianą w określonych punktach okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej, łączącą sekwencje w dziedzinie czasu z ich reprezentacjami w dziedzinie częstotliwości.

Pokazuje to, że DFT jest specyficznym przypadkiem transformaty z obliczonej na okręgu jednostkowym.