24.5
Budowa linii pierwiastkowej
Konstrukcja linii pierwiastkowej obejmuje kilka kluczowych kroków w celu analizy i wizualizacji zachowania biegunów układu ze zmiennym wzmocnieniem.…
Budowa locus korzenia polega na określeniu liczby odgałęzień równej liczbie biegunów w pętli zamkniętej. Locus korzenia jest symetryczny względem osi rzeczywistej.
Locus główny istnieje w tej części osi rzeczywistej, w której suma całkowitej liczby skończonych biegunów pętli otwartej i zer po lewej stronie jest nieparzysta.
Zaczynając od biegunów pętli otwartej, locus śledzi bieguny systemu zamkniętej pętli z rosnącym wzmocnieniem i kończy się na zerach w pętli otwartej, gdzie bieguny systemu stabilizują się wraz ze wzrostem wzmocnienia.
Funkcja, która zbliża się do nieskończoności, gdy s zbliża się do nieskończoności, ma biegun w nieskończoności. Jeśli zbliża się do zera, ma zero w nieskończoności.
Gdy locus rdzenia przesuwa się w kierunku nieskończoności, zbliża się do pewnych linii prostych zwanych asymptotami. Dla danego układu obliczane jest punkt przecięcia i kąt osi rzeczywistej. Wraz ze wzrostem wzmocnienia kąty zaczynają się powtarzać.
Ich równanie, oparte na przecięciu osi rzeczywistej i kącie, ujawnia drogę loci od biegunów do nieskończoności.
Locus zaczyna się od biegunów pętli otwartej i kończy się na zerach pętli otwartej.
View the full transcript and gain access to JoVE Core videos
Q1: How many branches does a root locus have?
The number of branches in a root locus equals the number of closed-loop poles in the system. Each branch represents the path of one closed-loop pole as the gain varies. The root locus is symmetrical about the real axis, meaning branches appear in mirror-image pairs for complex poles.
Q2: Where does the root locus start and end?
The root locus originates at the open-loop poles and terminates at the open-loop zeros. As gain increases, the closed-loop poles trace paths from the pole locations toward the zero locations. When the locus reaches the zeros, the system poles stabilize with rising gain.
Q3: What determines where the root locus exists on the real axis?
The root locus exists on the real axis where the sum of the total number of finite open-loop poles and zeros to the left is odd. This rule applies for positive gain values and helps identify which segments of the real axis contain locus branches.
Q4: What are asymptotes in root locus construction?
Asymptotes are straight lines that the root locus approaches as it extends toward infinity. Their equations are determined by the real-axis intercept and specific angles based on the number of poles and zeros. These asymptotes guide the locus paths from the poles to infinity as gain increases.
Q5: How do poles and zeros at infinity affect root locus?
If a function approaches infinity as s approaches infinity, the system has a pole at infinity. If it approaches zero, it has a zero at infinity. These conditions influence the asymptotic behavior and determine how the root locus behaves as gain becomes very large.
Q6: Why is the root locus symmetrical about the real axis?
The root locus is symmetrical about the real axis because complex poles in linear systems always occur in conjugate pairs. This symmetry reflects the fundamental property that complex roots of characteristic equations with real coefficients must be conjugates, ensuring mirror-image behavior across the real axis.
Q7: How does the root locus method help in control system design?
The root locus method visualizes how closed-loop poles migrate with increasing gain, enabling engineers to analyze system stability and response. By plotting and calibrating the root locus, designers can predict system behavior across operating conditions and tune control parameters to achieve desired performance and stability.