Pochodne funkcji trygonometrycznych

Weźmy pod uwagę diabelski młyn obracający się ze stałą prędkością. Pionowa wysokość punktu na jego krawędzi zmienia się płynnie w czasie, podążając za falą sinusoidalną.

Tempo zmiany wysokości przez jeźdźca również zmienia się płynnie i cyklicznie, podobnie jak inna fala. Ta zmienna szybkość odpowiada pochodnej funkcji sinus.

Aby znaleźć pochodną sinusa x, zacznij od definicji granicy pochodnej i zastosuj ją do sinusa x.

Najpierw rozwiń sinus (x + h) za pomocą wzoru dodawania. Następnie przeorganizuj wyrazy i wydziel sinus x oraz kosinus x.

Gdy h zbliża się do zera, cosinus h minus 1 przez h zbliża się do zera, a sinus h przez h zbliża się do 1.

Podstawienie tych granic pokazuje, że pochodna sinusa x jest kosinusem x.

To samo podejście pokazuje, że pochodna cosinusa x jest sinusem ujemnym x.

Ponieważ funkcja styczna to stosunek sinusa do cosinusa, aby znaleźć pochodną, należy zastosować regułę ilorazu. Teraz, podstawiając wartości pochodnych funkcji sinus i cosinus oraz upraszczając za pomocą tożsamości trygonometrycznych, otrzymujemy pochodną stycznej jako sekantę do kwadratu.