Reguła łańcuchowa

Rozważmy układ trzech biegów, gdzie x, y i z reprezentują prędkości obrotowe pierwszego, drugiego i trzeciego biegu.

Pierwszy bieg kręci drugim, który kręci trzecim. System analizowany jest za pomocą reguły łańcuchowej z dwustopniową relacją zmiennych.

Pierwszy stopień wyraża zależność obrotu drugiego biegu od pierwszego, gdzie z jest funkcją x.

Drugi stopień wyraża zależność rotacji trzeciego koła zębatego od drugiego, gdzie y jest funkcją z.

Wynika z tego, że wyjście pierwszego etapu staje się wejściem następnego, tworząc funkcję złożoną.

Mała zmiana jednego biegu powoduje zmiany w pozostałych. Aby znaleźć chwilową zmianę w y na x, przyjmuje się stosunek Delta y do Delta x z limitem, gdy Delta x zbliża się do zera. Wprowadzając zmienną pośrednią, delta z, ten stosunek jest przepisywany.

Gdy Delta x zbliża się do zera, Delta z również zbliża się do zera. Wtedy granica iloczynu iloczynu stosunków wyraża się jako iloczyn dwóch pochodnych, co daje regułę łańcuchową. Daje to pochodną funkcji złożonej jako pochodną funkcji zewnętrznej pomnożoną przez pochodną funkcji wewnętrznej.